Материал: МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЗАДАЧАХ НЕФТЕГАЗОВОЙ ОТРАСЛИ

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

8 Критерий Пекле Pe V l .

9 Критерий Нуссельта Nu l .

10 Критерий Вебера We V 2 d .

- коэффициент поверхностного натяжения, M T 2 .

Критерии подобия во многих случаях представляют собой отношение двух сил различной природы. Так, критерий Рейнольдса есть

конвективные силы

61

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

Критерии Фурье, Пекле, Нуссельта и Прандтля широко применяются при теплотехнических и термодинамических исследованиях и расчетах.

следствием основных теорем подобия: если параметры,

характеризующие одно явление Р1, выражены в долях от некоторых определенным образом выбранных базисных величин Р1б, а для второго явления сходственные параметры Р2 выражены в долях от базисных Р2б величин, выбранных таким же образом, то при равенстве относительных значений сходственных параметров Р* = Р1/Р1б = =Р2/ Р2б первое и второе явления могут быть подобны.

Третья теорема подобия имеет несколько формулировок. Первая формулировка

Необходимым и достаточным условием обеспечения подобия является пропорциональность сходственных параметров, входящих в условия однозначности, и равенство критериев подобия изучаемого явления.

Третья теорема подобия именуется также обратной теоремой подобия или теоремой Кирпичева – Гухмана.

Условия однозначности - это условия, определяющие индивидуальные особенности процесса или явления и выделяющие из общего класса конкретный процесс или явление.

К ним относятся следующие, не зависящие от механизма самого явления, факторы и условия:

1)геометрические свойства системы, в которой протекает процесс;

2)физические параметры среды и тел, образующих систему;

3)начальное состояние системы (начальные условия);

4)условия на границах системы (граничные условия);

5)взаимодействие объекта и внешней среды.

Нельзя математически сформулировать условия однозначности в общем виде. В каждом конкретном случае они могут быть различны в зависимости от рода решаемой задачи (и вида уравнения - если уравнение известно).

Третья теорема подобия в первой формулировке не распространяется на автомодельные процессы, поэтому она является ограниченной.

Практически более удачной является вторая формулировка третьей теоремы, сделана в 1983 году, поскольку она больше отвечает реальным задачам создания различных моделей. Эта формулировка состоит из трех положений.

Положение 1

Создание модели возможно, если критерии подобия, состоящие из величин, характеризующих только ее системные параметры, равны соответствующим критериям объекта - оригинала.

Положение 2

В созданной согласно положению 1 модели осуществление подобия процессов, подобных оригиналу, возможно, если критерии подобия, составленные только из параметров процессов, входящих в условия однозначности, и в том числе начальные условия, в модели и в натуре

62

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

одинаковы.

Положение 3

Моделирование по 1 и 2 положениям возможно в сколь угодно сложных, нелинейных, анизотропных или имеющих вероятностно заданные параметры системах при условии одновременного выполнения нижеследующих дополнительных положений.

2.3. Законы сохранения и принципы составления дифференциальных уравнений

Дифференциальные уравнения движения в большинстве случаев могут быть выведены, исходя из двух основных законов — сохранения массы и сохранения энергии. Ведем основные понятия и определения для формулировки и постановке задач [3,4].

Рассмотрим иллюстративный пример. Обозначим через и скорость движения частицы. Причем, если движение установившееся, то и (х) = и, где х

— расстояние от движущейся точки до некоторого начала х = 0. При такой записи задается зависимость (функциональная) скорости движущейся точки от ее положения, т. е. от значения местонахождения частицы (ее расстояние от начала отсчета х — 0). При помощи и = и (х) можем определить ее скорость. Так, например, при свободном падении частицы массой т с высоты h в среде, сопротивлением которой пренебрегаем, скорость частицы в зависимости от ее положения определяется формулой

u u x 2g h x

где х — расстояние частицы от поверхности земли (от начала отсчета х =

0).

Задаваясь различными значениями х, в формуле можно найти скорость падающей частицы на различных расстояниях от поверхности земли. При определении скорости частицы в различных ее положениях (ее расстояниях

Таким образом, и = и (х) или и = f (x) определяет скорость частицы, находящейся на расстоянии х от начала отсчета. Точно также и = и (х + х) определяет скорость той же частицы на расстоянии х + х от начала отсчета. Изменение скорости частицы при переходе из положения х в положение х + х определится равенством

u u x u x x u x .

63

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

зависимости от х на отрезке x . Чтобы найти характер изменения и (х) в данной точке х, следует вычислить

зависимости от х. Она дает производную от функции и (х) по аргументу х.

оси х, т. е. характеризует быстроту (и характер) изменения скорости. Если

достигает или своего экстремума или стационарной точки (точка перехода от возрастания к убыванию), или же своего минимума (точка перехода от убывания к возрастанию).

При неустановившемся движении, когда скорость движущейся частицы не только изменяется при переходе из одной точки в другую, но и в каждой точке изменяется во времени, обозначим через u u x,t скорость точки,

находящейся на расстоянии х от начала отсчета в момент времени t. Точно также через u u x,t t обозначим скорость частицы той же точки, но в

момент времени t1 t t . Таким образом, u x x,t будет означать

скорость точки, находящейся на расстоянии x x от начала отсчета в момент времени t, и, наконец, u x x,t t — скорость частицы в точке x x в

находящейся на расстоянии х от начала отсчета в моменты времени t и

65

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts