Материал: МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЗАДАЧАХ НЕФТЕГАЗОВОЙ ОТРАСЛИ

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

Тогда для периода колебаний данного тела получим хорошо известную из курса элементарной физики формулу

56

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

- закон математического маятника.

Задача 2. Определение периода колебаний груза, подвешенного на пружине Запишем закон Гука для пружины: Fp = С l, где С- жесткость,

l – деформация, и закон Ньютона Fu = m a.

Перейдя к масштабам подобия, получим Fp.c= Сclc ; Fи.с.= mc ac.

Приравнивая масштабы сил, получаем: Сclc mc ac mc lс . tс

где с - некоторая постоянная.

Решение дифференциального уравнения колебаний груза с массой m на пружине с жесткостью С:

d 2 х С х m g , d t 2

т.е. получили хорошо известную формулу для периода свободных колебаний груза с массой m , подвешенного на пружине с жесткостью С .

Задача 3. Моделирование центральной силы тяготения. Сила притяжения между массой центрального тела М и вращающегося

С другой стороны:

57

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

Отношение квадратов времен обращения планет вокруг Солнца равно отношению кубов полуосей их эллиптических орбит.

Рассмотрим теперь третью теорему подобия. Эта теорема имеет несколько формулировок.

Первая формулировка

Необходимым и достаточным условием обеспечения подобия является пропорциональность сходственных параметров, входящих в условия однозначности, и равенство критериев подобия изучаемого явления.

Третья теорема подобия именуется также обратной теоремой подобия или теоремой Кирпичева – Гухмана.

Условия однозначности - это условия, определяющие индивидуальные особенности процесса или явления и выделяющие из общего класса конкретный процесс или явление.

К ним относятся следующие, не зависящие от механизма самого явления, факторы и условия:

1)геометрические свойства системы, в которой протекает процесс;

2)физические параметры среды и тел, образующих систему;

3)начальное состояние системы (начальные условия);

4)условия на границах системы (граничные условия);

5)взаимодействие объекта и внешней среды.

Нельзя математически сформулировать условия однозначности в общем виде. В каждом конкретном случае они могут быть различны в зависимости от рода решаемой задачи (и вида уравнения - если уравнение известно).

Третья теорема подобия в первой формулировке не распространяется на автомодельные процессы, поэтому она является ограниченной.

Практически более удачной является вторая формулировка третьей теоремы, сделана в 1983 году, поскольку она больше отвечает реальным задачам создания различных моделей. Эта формулировка состоит из трех положений.

Положение 1

58

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

Создание модели возможно, если критерии подобия, состоящие из величин, характеризующих только ее системные параметры, равны соответствующим критериям объекта - оригинала.

Положение 2 В созданной согласно положению 1 модели осуществление подобия

процессов, подобных оригиналу, возможно, если критерии подобия, составленные только из параметров процессов, входящих в условия однозначности, и в том числе начальные условия, в модели и в натуре одинаковы.

Положение 3 Моделирование по 1 и 2 положениям возможно в сколь угодно сложных,

нелинейных, анизотропных или имеющих вероятностно заданные параметры системах при условии одновременного выполнения нижеследующих дополнительных положений.

В заключении этого параграфа приведем справочные сведения по теории подобия

Первая теорема подобия имеет следующий вид: явления, подобные в том или ином смысле, имеют определенные сочетания параметров, называемые критериями подобия, численно одинаковые для подобных явлений.

Размерности некоторых производных величин будут следующие:

1)Площадь S = l2 = > [L]2.

2)Объем Q = l3 => [L]3.

3)Момент силы M = F∙l => [M]∙ [L]2 ∙[T]-2.

4)Момент инерции I = m∙l2 => [M]∙[L]2.

5)Мощность N = A / t => [M]∙[L]2∙[T]-3.

6)Давление P = F / S =>[M]∙[L]-1[T]-2.

7)Плотность ρ = m / V => [M]∙[L]-3 .

Вторая теорема подобия (π – теорема). Эта теорема позволяет получить критерии подобия и в тех случаях, когда уравнение процесса можно представить лишь виде функциональной зависимости между параметрами системы и процесса:

y = f (x1, x2,…,xj,…,xn-1),или

F (y, xl, x2,....,xj,....,xn - l) = 0,

где f и F означают лишь символы зависимости.

59

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

π – теорема имеет несколько формулировок, одна из которых (основная)

следующая. Всякое полное уравнение физического процесса, записанное в определенной системе единиц, может быть представлено в виде функциональной зависимости между критериями подобия, полученными из участвующих в процессе параметров.

Таблица 2.2

Размерности физических величин

При решении задач в различных областях науки и техники широкое применение находит также ряд критериев, имеющих специальные названия по имени ученых, впервые их предложивших. Вот некоторые из них.

60

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts