Материал: МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЗАДАЧАХ НЕФТЕГАЗОВОЙ ОТРАСЛИ

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

сечении и в любой момент времени. Пренебрегаем трением, т. е. диссипация (рассеяние) энергии принимается равной нулю (так как приток энергии извне принимается равным нулю). Предполагаем, что начальный момент времени соответствует состоянию равновесия. Например, в начальный момент времени струна натянута, находится в горизонтальном положении и концы ее закреплены. Для того чтобы начался процесс колебания струны, необходимо ее вывести из положения равновесия, положим, начальным импульсом. Обозначим отклонение струны от ее положения равновесия через x,t .

На рис. 8 цифрами 1—1 и 2—2 обозначены сечения, в которых закреплены концы струны. Выделим на расстоянии х от начала оси х элементарный отрезок струны x между сечениями, обозначенными цифрами

3—4.

Для определения кинетической энергии необходимо найти скорость точек этого отрезка струны. Смещение (отклонение от положения равновесия)

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

Тогда

Используя для корня разложение в ряд Маклорена биномального выражения, и ограничиваясь квадратичными членами получим

и выражение для потенциальной энергии для всей струны

Поскольку сумма потенциальной и кинетической энергии составляет постоянную величину равную полной энергии получим k .

или

Продифференцируем как сложную функцию в подинтегральном выражении, тогда получим

или интегрируя по частям второе слагаемое и учитывая, что концы струны жестко закреплены т.е. перемещения в начале и конце струны равны нулю

92

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

получим

Учитывая, что выражение под знаком интеграла не отрицательно, то интеграл равен нулю в том случае, когда подынтегральная функция равняется нулю.

Отсюда, поскольку 0 , можно разделить левую и правую части

x

уравнения на x . Тогда получим

l 2 P 2 . (2.142)

t2 x2

Это равенство представляет собой дифференциальное уравнение колебаний струны. Отметим, что здесь одно уравнение и одна неизвестная функция – поперечное перемещение струны. Натяжение струны было принято постоянным, поэтому оно исключено как неизвестное.

Приведем еще один пример. Рассмотрим продольное колебание трубы, которое происходит в процессе спуска-подъема бурильных труб или же в процессе непосредственного бурения. Так, например, если имеется шарошечное долото, которое в процессе бурения производит колебательное движение, то в упругих бурильных трубах возникает продольное колебание.

Способ бурения принимается турбинным, так как при роторном в бурильных трубах возникают крутильные колебания, вызванные вращением инструмента. Чтобы не усложнять вывода, трением пренебрегаем. Дифференциальное уравнение в этом случае имеет такой же вид, как и для колебания струны. Но в отличие от колебания струны при продольном колебании упругие напряжения, возникающие в каждом сечении, уже не могут быть приняты постоянными как в сечениях, так и во времени.

Дифференциальное уравнение для этого случая можно получить из уравнения движения.

В данном продольном стержне смещение происходит вдоль оси. Обозначим через x,t смещение вдоль оси ох (см. рис.2.10).

Скорость вдоль оси Ox

93

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

Тогда ускорение вдоль оси Ox имеет вид

Рис. 2.10

Упругое напряжение в сечении 1—1 в момент времени t будет F (x, t), а в сечении 2— 2 — будет

F x x,t .

Согласно второму закону Ньютона можно записать

Разделив уравнение (1.78) на х и перейдя к пределу при x 0 , получим

Таким образом, имеем одно уравнение и два неизвестных и F. Данные уравнения можно получить также, исходя из закона

сохранения энергии.

В качестве примера возьмем вывод уравнения колебания груза на упругой нити на основе закона сохранения энергии.

Рассмотрим колебание груза, подвешенного к упругой нити. Примем, что сила упругости пропорциональна удлинению х (рис. 2.10).

На рис. 2.10 показаны: 1 — положение равновесия, 2 — отклонение от положения равновесия, которое изменяется в зависимости от времени. Если

94

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

в начальный момент времени груз находится в положении равновесия, то х =

0.

Потенциальная энергия — это энергия упругости нити. Силы упругости приняты пропорциональными х, т. е. кх совершает элементарную работу kxdx, соответствующую элементарной потенциальной энергии. В положении 2 потенциальная энергия определяется как

где Ф — полная энергия в положении 2. Дифференцируя (2.145) по t, получаем

Уравнение (2.146) и есть выражение второго закона Ньютона.

Во всех приведенных случаях, как правило, число неизвестных было больше числа уравнений, за исключением одного случая — поперечного колебания струны. Однако и в последнем, как было отмечено, одно неизвестное — натяжение струны — исключили, приняв его постоянным.

Если совершаются продольные колебания стержня закон постоянства массы также выполняется тождественно и не дает нового уравнения. В этом случае недостает одного уравнения для вычисления упругих напряжений, которое находят экспериментально.

Для механических процессов необходимы данные о характерных свойствах рассматриваемой сплошной среды. Эти свойства описываются так называемым определяющим уравнением, которое представляет собой уравнение, описывающее механическую модель.

В связи с тем, что тепловые и диффузионные процессы приобретают все большее значение в нефтяной промышленности, будут рассмотрены недостающие уравнения при описании этих процессов. Метод

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts