Материал: МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЗАДАЧАХ НЕФТЕГАЗОВОЙ ОТРАСЛИ

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

т. е. время релаксации будет около 3 лет. Для разработки такой сравнительно крупной залежи нестационарность необходимо учитывать.

Отмеченное относится и к случаям приложения нагрузок статической и динамической, для которых напряжение зависит не только от упругой деформации, но и от ее скорости. Динамические расчеты с учетом неравновесности процесса представляют большой интерес для нефтепромысловой механики, особенно для новых методов воздействия на пласт. Тем не менее они не получили должного развития, поэтому в данной книге мы рассмотрим их кратко. Заметим, что для тиксотропных, изменяющихся во времени глинистых и цементных растворов, принцип квазистационарности не применим для расчета нестационарного движения в трубах. Закон Дарси справедлив в области линейной фильтрации.

Для нелинейной фильтрации находят применение степенные законы. Обычно степенные законы записываются для одномерных случаев. Представляет некоторый интерес рассмотрение обобщения и для пространственной фильтрации. Для одномерного случая

dp n . vx k1

dx

Проверим, можно ли для двухмерного случая применить аналогичные выражения

Нетрудно показать, что приведенное уравнение неинвариантно относительно поворота осей координат. При повороте координатных осей координаты и проекции скоростей на соответствующей оси меняются следующим образом:

Легко заметить, что проекции градиента давления на оси х и уpx , py определяются по тем же формулам:

101

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

где p , p и проекции градиента давления на оси х' и у'. Тогда

x y

Сравнивая (2.147) с (2.148), нетрудно показать, что выполнение

возможно лишь при п = 1.

Следовательно, записанный нелинейный закон фильтрации неинвариантен относительно поворота осей координат.

Покажем, что одной из возможных записей нелинейного закона фильтрации, обеспечивающей инвариантность относительно поворота осей координат, является следующая.

Пусть

Тогда проводя несложные преобразования получим

модуль градиента инвариантен относительно поворота осей координат. Проекций скорости в этом случае имеют вид :

102

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

Естественно, что уравнение неразрывности, инвариантное относительно поворота осей координат, не изменяется при подстановке инвариантных величин vх и vy .

Следовательно,

Или

В случае однопараметрической модели обобщение на пространственный случай проводится сравнительно просто, как было показано ниже. Если модель двухпараметрическая, например вязко-пластическая, т. е. характеризуется вязкостью и пластичностью — предельном напряжением сдвига, то на основании простейших одномерных течении нельзя описать уравнение для пространственного случая без применения той или иной гипотезы, которая в дальнейшем проверяется экспериментально. Так, для одномерного течения

vvx 0

Рассмотрим возможные пути обобщения приведенного закона, когда осевая скорость есть функция двух переменных v = vx(х, у), т е. происходит движение в некруглой трубе. В этом случае имеют место два касательных напряжения zx , zy . Самое простое обобщение

zx vz 0x

zy vz 0y

Покажем на одном частном примере несостоятельность такого обобщения. Рассмотрим движение в круглой цилиндрической трубе.

Для одномерного случая имеем одно касательное напряжение zr ,

направленное вдоль поверхности и зависящее ввиду симметрии только от r ,

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

возможности отмеченного перехода в общем случае перед 0 ставится коэффициент

Где ,например

f A grad v B 1 vz

x

Это выражение инвариантно относительно поворота осей координат. При п = 2 получается обобщение в форме Генки — Ильюшина.

Как было отмечено, диффузионные процессы представляют большой интерес для нефтепромысловой механики. Приведем некоторые задачи, которые описываются диффузионной моделью. Это в первую очередь смешивающиеся вытеснения, которые могут быть как при использовании растворителей для увеличения нефтеотдачи, так и в случае вытеснения глинистого раствора цементным при цементировании скважин.

Диффузионные процессы происходят и в стволе газовой скважины при ее остановке. Их учет необходим для исследования сепарации газоконденсатных систем в трапах. Приведем один процесс, происходящий в глинистых пластах, для которых диффузия является определяющей. Известно, что глина имеет очень маленькую проницаемость и практически считается непроницаемой, т. е. исключается из рассмотрения как при подсчете запасов газа, так и при разработке. Ниже покажем, что диффузионный перенос газа в глинах и глинистых пластах довольно значителен. Феноменологически диффузия описывается законом Фика:

gx D dcdx

где gx — проекция на ось х скорости переноса; с — концентрация D — коэффициент диффузии.

По аналогии с законом Дарси можно записать g Dgrad c

Коэффициент диффузии имеет размерность см2/сек. Нетрудно показать из анализа размерности, как это делается при определении порядка времени релаксации, что порядок диффузионного времени определяется так:

t~ l2

D

где l — характерный размер.

Коэффициент диффузии в пористых средах составляет 10~5 см2 /сек» Для глинистого пропластка толщиной 10 см

104

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

t 107 сек

т.е. диффузионное время составляет 100 суток.

Для пропластка толщиной 1 см это время будет составлять одни сутки. Таким образом, прослойки глины могут представлять опасность как

источник газопроявления при проводке скважин. Кроме того, их необходимо учитывать при подсчете запасов и анализе разработки линеаризованных газовых и газоконденсатных пластов

Явление переноса тепла отмечается во всех звеньях бурения, нефтедобычи и транспорта и описывается законом Фурье

Q T

где Q — плотность теплового потока; — коэффициент теплопроводности; Т

— температура.

Это уравнение, как и все приведенные выше, относится к однородной и изотропной средам, для которых коэффициенты проницаемости, диффузии и теплопроводности одинаковы во всех направлениях (изотропность) и во всех точках (однородность).

Для нефтепромысловой механики представляет большой интерес и закон переноса электрического тока как для расчета некоторых процессов, например электрокаротажа, электроподогревателей и т.д. , так и в основном для метода электрических аналогий. Закон переноса электрического тока — закон Ома — имеет вид

2.4.Метод аналогий.

Среди различных явлений, встречаемых в природе, выявлено много математических аналогий. За последние десятилетия в практике применяются лабораторные исследования и проекты, основанные на электрических, магнитных, электродинамических, электромагнитных, тепловых, звуковых, оптико-механических, магнитно-оптических и других аналогиях и на теории моделирования. Электромоделирование различных физических явлений широко используется в теории фильтрации, гидравлике, гидродинамике, строительстве, теплотехнике, теории упругости, механике грунтов, теории механизмов, акустике, теории автоматического регулирования, а также в других областях науки и техники.

В современном гидротехническом строительстве при строительстве больших и сложных гидротехнических объектов требуется проводить

105

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts