Материал: МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЗАДАЧАХ НЕФТЕГАЗОВОЙ ОТРАСЛИ

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

Интенсивность реакции в каждой точке связана с прогибами балки. Поэтому для решения задачи необходимо найти сначала уравнение изогнутой

оси , а уже затем формулы для вычисления изгибающего момента и поперечной силы. Ход решения оказывается обратным обычному.

Найдем уравнение изогнутой оси для балки постоянного сечения,

вправо, ось у вертикально вверх. Направление нагрузок вверх будем считать положительным. Напишем обычное дифференциальное уравнение изгиба

Так как М(х) нам неизвестен, то постараемся связать прогибы непосредственно с нагрузкой, для этого дифференцируем дважды предыдущее уравнение:

(3

.10)

где q(x)—интенсивность сплошной нагрузки, действующей на балку в сечении с абсциссой х.

Сплошной нагрузкой для нашей балки является лишь реакция упругого основания. Интенсивность ей пропорциональна прогибам; эта нагрузка направлена вверх, т. е. положительна, когда прогибы идут вниз, т. е. отрицательны, и наоборот. Таким образом, эта нагрузка имеет знак, обратный знаку прогибов:

Тогда

(3

126

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

Постоянные А, В, С, D должны быть определены в каждом частном случае нагрузки и длины балки. Величина β имеет измерение обратное длине.

Наиболее часто в строительстве, в том числе при сооружении магистральных нефтегазопроводов, используется модель нагруженной балки на упругом основании. Приведем несколько примеров расчета таких конструкций. Положим имеется бесконечно длинная балка на упругом основании, загруженной одной силой Р.

Наиболее просто решается задача об изгибе бесконечно длинной балки, нагруженной одной сосредоточенной силой (Рис.3.5). Помимо непосредственного практического значения решение этой задачи позволит путем последовательных приближений рассчитывать и балки конечной длины.

Рис.3.5 Расчетная схема балки бесконечной длины.

Начало координат расположим в точке приложения силы Р. Определим постоянные А, В, С и D. Так как вся реакция основания, равная силе Р должна быть конечной величиной, то прогибы балки в точках, бесконечно удаленных от точки приложения силы, должны обращаться в нуль:

(3

.14)

При бесконечно больших значениях х два вторых слагаемых в правой

части формулы (3.13) обращаются в нуль благодаря множителю , два же первых могут обратиться в нуль лишь при

и

таким образом,

(3

.15)

127

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

Далее, по симметрии нагрузки и реакции основания, касательная к изогнутой оси в точке приложения силы должна идти параллельно оси абсцисс:

Дифференцируя (6), получаем:

Подставляя в это выражение x=0 и приравнивая результат нулю, находим:

D — С = 0 и C=D;

таким образом, уравнения будут:

(3

.16)

(3

.17)

Для определения последней постоянной С имеем еще одно уравнение: нам известна величина поперечной силы в начале координат.

Разрезав балку сечением в точке О справа от силы Р и рассматривая правую часть балки, видим, что поперечная сита в этом сечении равна реакции основания, действующей на правую половину балки со знаком минус; так как реакция направлена вверх (для правой половины) и вся реакция основания равна Р, значит, поперечная сила в сечении при х = 0 равна

Но, с другой стороны

(3.18)

Таким образом,

(3.19)

128

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

Вычисляем, пользуясь (3.17 8), и :

(3.20)

(3.21)

Подставляя (3.21) в (3.19) и приравнивая х нулю, получаем:

и

Теперь значения у и ее производных получают вид

Таким образом, напряженное состояние и деформации балки на упругом основании всецело определяются нагрузкой и коэффициентом β, зависящим от соотношения жесткостей балки и упругого основания.

На таких моделях можно рассматривать более сложные конструкции, включающие в себя множество сосредоточенных и распределенных нагрузок.

3.4. Модели гидравлики и гидромеханики.

Моделирование гидравлических и гидромеханических процессов может осуществляться различным образом.

Рассмотрим это на примере так называемых одномерных потоков [9,14]. Одномерными называются потоки, в которых основные параметры течения (скорости, давление и др.) зависят лишь от одной геометрической координаты, направление которой совпадает с направлением вектора скорости. Примером такого течения является рассматриваемое ранее движение жидкости в элементарной трубке тока, ввиду малости поперечного

129

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

сечения которой скорость и давление в нем постоянны. Использование модели одномерных течений позволяет достаточно просто решать многие важные практические задачи, а раздел прикладной гидромеханики, применяющий эту модель течения, называют гидравликой. Для решения широкого круга инженерных задач плодотворной оказалась так называемая струйная модель потока. Согласно этой модели поток представляется состоящим из бесконечного множества элементарных жидких струек. При рассмотрении потока поперечные сечения в нем выбираются так, чтобы пересекающие их линии тока в каждой точке сечения были направлены по нормали. В этом случае сечение потока называется живым. Вообще говоря, живое сечение представляет собой изогнутую поверхность, но, если линии тока в элементарных жидких струйках, составляющих его, параллельны, то живое сечение будет плоским.

Легко видеть, что объемный расход элементарной струйки жидкости может быть определен как:

dQ udS ,

где u –скорость (постоянная) в поперечном сечении элементарной жидкой струйки,

dS - площадь ее сечения.

В соответствии со струйной моделью расход потока можно определить

как:

Q u r dS .

S

Рис.3.11

Рассмотрим движение вязкой жидкости в трубе круглого поперечного сечения. Для реального течения вязкой жидкости распределение скоростей в поперечном сечении трубопровода (эпюра скоростей) будет неравномерным, в частности, может иметь вид, показанный на рисунке.

130

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts