Материал: МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЗАДАЧАХ НЕФТЕГАЗОВОЙ ОТРАСЛИ

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

законов Кирхгофа, должны быть выполнены для проекций этих величин на каждую из координатных осей.

3.2. Модели электротехники

Отметим, что в электротехнике возможно применение равноценных моделей в виде различных схем. Такие электрические цепи называются дуальными. Рассмотрим подробнее применение таких цепей [1].

Под эквивалентной схемой системы, состоящей из типовых элементов, понимают их условное изображение в виде двухполюсников и связей между этими двухполюсниками. Так как математические модели (ММ) макроуровня типовых элементов различных физических систем совпадают по форме с ММ электрических двухполюсников, то при построении эквивалентных схем обычно используют обозначения, характерные для электрических систем. Эквивалентную схему в виде электрической цепи, объединяющей двухполюсники, можно считать наглядным представлением структурной математической модели рассматриваемой системы. При построении ММ электрической системы объединяют ММ входящих в эту систему типовых элементов: резисторов, конденсаторов и индуктивных катушек. Такое объединение проводят, применяя к эквивалентной схеме законы Кирхгофа. Первый из них устанавливает равенство нулю алгебраической суммы мгновенных значений силы тока во всех ветвях электрической цепи, имеющих общий узел, а второй — равенство нулю алгебраической суммы мгновенных значений падений напряжения при обходе любого контура электрической цепи в любом направлении.

Рис. 3.3

Использование законов Кирхгофа рассмотрим на простом примере электрической цепи, включающей источник, задающий переменное (в общем

состоит из одного замкнутого контура и четырех ветвей, в каждую из которых включен один из указанных двухполюсников. Применяя к каждому из узлов этой цепи первый закон Кирхгофа, приходим к выводу, что в любой момент времени t сила I электрического тока во всех ветвях одинакова. Для падений электрического напряжения на пассивных двухполюсниках имеем ( 3.4)

121

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

где to — некоторый момент времени, принятый за начальный. При обходе замкнутого контура по ходу часовой стрелки в соответствии со вторым законом Кирхгофа получим — U * t UR UC UL 0 , или с учетом (3.4)

включающую наряду с пассивными двухполюсниками источник, задающий по

цепи сходятся в два узла. Применяя первый закон Кирхгофа к одному из узлов

Таким образом, ММ рассмотренных электрических цепей включают идентичные по форме уравнения (3.5), (3.7), содержащие помимо времени t различные величины. Соответствие между этими величинами представлено в табл. 3.2

Таблица 3.2

Две электрические цепи, MM которых удовлетворяют указанному соответствию величин, принято называть дуальными. При этом зависимости для падений напряжений на пассивных двухполюсниках в одной цепи аналогичны зависимостям для токов, протекающих через такие двухполюсники в дуальной цепи, и наоборот. Если связь между законами изменения напряжения и силы тока источников в дуальных цепях подчиняется

(3.8)

122

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

при выполнении условий

(3.9)

Существуют правила преобразования сложных электрических цепей в дуальные. При этом число узлов дуальной цепи на единицу превышает число простых замкнутых контуров исходной цепи (к простым относят такие замкнутые контуры, внутренняя линия обхода которых не пересекает ветвей цепи). Проверкой правильности преобразования цепи в дуальную служит получение исходной цепи путем построения дуальной цепи по отношению к дуальной. Дуальность электрических цепей позволяет расширить возможности построения и преобразования эквивалентных схем применительно к различным физическим системам (прежде всего к механическим системам). Предположим, что сила тока в электрической цепи, представленной на рис. 3.3 а), изменяется по закону I t I0 sin t , где I0 — амплитуда колебаний силы тока,ω — угловая

частота колебаний. Выясним, при каком законе U * t изменения напряжения

источника это возможно. Для этого предварительно продифференцируем по t (3.5) и запишем

или после подстановки выражения для I(t)

комплексные сопротивления (импедансы) резистора, емкости и индуктивной

емкости и индуктивной катушки. Таким образом, при последовательном соединении электрических двухполюсников сумма их комплексных сопротивлений дает полное сопротивление цепи. Теперь предположим, что падение напряжения во всех ветвях цепи, представленной на рис. 3.3 б,

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

это возможно. Продифференцировав по t 3.7, имеем

Тогда возможным законом изменения силы тока источника является

комплексным сопротивлениям, дает полную комплексную проводимость цепи,

количества типовых элементов, обычно непосредственно используют основные законы механики. Но для более сложной механической системы, включающей большое число взаимодействующих между собой элементов, удобнее, используя электромеханическую аналогию, предварительно составить эквивалентную схему, соответствующую расчетной схеме этой системы. Тогда при переходе от эквивалентной схемы к ММ можно применить приемы, разработанные и формализованные для электрических цепей. Установленный на основе идентичности ММ типовых элементов механической системы и электрических двухполюсников вариант электромеханической аналогии не является единственным, так как каждой из дуальных электрических цепей можно поставить в соответствие свой вариант такой аналогии. В связи с этим допустимо говорить о двойственности электромеханической аналогии.

124

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

3.3. Модели сопротивления материалов

Практически все курсы дисциплины «Сопротивление материалов» снабжены большим количеством примеров приводящих к обыкновенным дифференциальным уравнениям различных порядков. Там рассматриваются как статические так и динамические модели. Приведем пример расчета балки на упругом основании [13]. Эта модель широко применяется при сооружении газонефтепроводов.

Начнем с общих понятий. К числу статически неопределимых балок может быть отнесена балка на упругом основании. Так называется балка, опирающаяся по всей своей длине (Рис.3.4) на упругое основание, оказывающее в каждой точке на балку реакцию, пропорциональную у — прогибу балки в этой точке. Коэффициент пропорциональности обозначается буквой k.

Введение предположения о пропорциональности реакций прогибу является приближением, хотя и достаточно близким к действительным условиям.

Рис. 3.4. Расчетная схема балки на упругом основании.

Предложение ввести в расчет коэффициент пропорциональности к, именуемый «коэффициентом постели», было впервые сделано русским академиком Николаем Ивановичем Фуссом в 1801 году. Принимая это предположение, получаем, что интенсивность реакции основания в каждой точке сила равна ky и измеряется в единицах силы и длины; размерность коэффициента k при этом будет сила и квадрат длины. Будем считать, что основание оказывает реакцию при прогибах балки как вниз, так и вверх.

На практике задачи о расчете балки на упругом основании встречаются в железнодорожном деле (рельс, шпала), в строительстве — фундаменты различных сооружений, передающие нагрузку на грунт.

Статически неопределимой такая балка будет потому, что условие статики— сумма нагрузок равна всей реакции основания — не дает возможности установить распределение этой реакции по длине балки, а значит, вычислить изгибающие моменты и поперечные силы.

125

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts