Материал: МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЗАДАЧАХ НЕФТЕГАЗОВОЙ ОТРАСЛИ

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

При изучении динамики стержня вблизи одной границы влиянием другой границы можно пренебречь, если она на протяжении интересующего нас промежутка времени не оказывает существенного влияния на рассматриваемую часть стержня. При этом стержень можно рассматривать как полубесконечный. Задача формулируется а виде:

(4.12)

К таким задачам можно отнести изучение динамики верхней части колонны труб достаточно большой длины в процессе торможения или же при ее посадке на клиновой захват; определение давления жидкости или газа в начале трубопровода при пуске насоса или компрессора; определение давления жидкости внутри обсадной колонны при закрытии превентера для предотвращения выброса из скважины и т.д.

Если в качестве граничного условия задана периодическая функция времени, влиянием начальных условий после определенного времени можно пренебречь. Такие задачи называются «задачами без начальных условий» и формулируются следующим образом:

найти решение уравнения

4.2. Вывод дифференциальных уравнений поперечных колебаний балки

Рассмотрим балку, установленную на двух опорах (Рис.4.2). Пусть масса единицы длины балки равна μ; модуль упругости материала – E; момент инерции поперечного сечения балки относительно нейтральной оси, перпендикулярной к плоскости чертежа – J; момент инерции единицы

длины балки относительно

Рис 4.2

136

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

центральной оси, перпендикулярной к плоскости его колебаний – I0. Принимается, что в недеформированном состоянии ось балки

прямолинейна и совпадает с осью Ox. Отклонение точек оси балки при поперечных колебаниях перпендикулярно оси Ox обозначим через u ( x ; t ) . Выделим элемент балки сечения I-I и II-II. В сечении I-I действует поперечная сила Q ( x ; t ) и изгибающий момент M ( x ; t ) , а в сечении II-II – Q ( x + x ; t ) и M ( x + x ; t ) . Интенсивность внешней нагрузки, действующей на балку равна f ( x ; t ) .

Под действием указанных сил и моментов выделенный элемент будет совершать плоскопараллельное движение. Так как смещением по оси Ox пренебрегают, то остается составить одно уравнение по принципу Даламбера для сил в проекциях на ось Oy и одно уравнение моментов относительно центра инерции элемента.

Масса элемента равна μ x, а ее осевой момент инерции относительно центральной оси, перпендикулярной к плоскости xOu, равен I0 x. Угол поворота элемента вокруг той же оси обозначим через φ. Для малых углов

элемента, перпендикулярной к плоскости xOu равен I 0 x .

Составим уравнения равновесия проекций и моментов указанных сил:

(4.15)

Разложив в ряд Тейлора и оставив первые два члена разложения, получим

выражение в (4.16), получим

137

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

При I0=const , EJ=const получим уравнение поперечных колебаний однородной балки в виде

(4.18)

При длине балки, значительно превосходящей поперечные размеры, инерцией вращения можно пренебречь. Тогда уравнение примет вид:

(4.19)

если принять , получится дифференциальное уравнение свободных поперечных колебаний однородной балки

Для поперечных колебаний балки в качестве начальных условий задаются начальное смещение и начальная скорость балки

(4.21)

Граничные условия определяются в зависимости от способа закрепления концов балки. Причем количество условий определяется высшим порядком производной по x в уравнении (4.20). Следовательно, должно быть задано четыре условия. Если концы балки закреплены шарнирно, то это значит что на обоих концах его смещение и изгибающие моменты равны нулю, т.е.

Известно, что

Следовательно, для балки, шарнирно закрепленного на обоих концах, имеют место следующие граничные условия:

поперечная нагрузка можно написать так как

138

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

то для консольной балки окончательно получим следующие граничные условия:

(4.22)

(4.23)

Для балки с жестко закрепленными концами модно принять, что прогибы и углы поворота сечений в местах защемления равны нулю. Тогда

(4.24)

Аналогично можно составить граничные условия и для других видов закрепления концов балки.

4.3. Вывод дифференциального уравнения поперечных колебаний струны

Пусть струна имеет начальное натяжение T0, ось ее совпадает с осью Ox (Рис.4.3). Рассмотрим элемент струну Δx после вывода её из положения равновесия и предположим, что струна все время в своем движении остается в плоскости Oxy, смещение точек от оси Ox мало; натяжение струны T0 во всех ее сечениях постоянно и направленно по оси струны. Отклонение точек струны от начального положения обозначим через u(x,t), её плотность на единицу длиннычерез ρ и предположим, что точки струны получают смещение только по направлению оси Oy.

Рис 4.3

139

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

Рис 4.3’

Для достаточно малых углов приближенно выполняется условие равенства нулю суммы проекций сил на ось Ox ;

Применяя принцип Даламбера для малого элемента струны, в проекциях

Пэтом

140

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts