Материал: МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЗАДАЧАХ НЕФТЕГАЗОВОЙ ОТРАСЛИ

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

Таблица 2.3

Аналогия между механическими и электрическими системами

116

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

Продолжение таблицы 2.3

117

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

3. ОДНОМЕРНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

3.1.Механические математические модели

Пример 3.1. Рассмотрим хорошо известную расчетную схему математического маятника (рис. 3.1) в виде материальной точки массой m , подвешенной на невесомом стержне постоянной длины l , который может свободно вращаться относительно горизонтальной оси, проходящей через точку О. Отклонение маятника равновесия приведет к возрастанию потенциальной энергии материальной точки на вели чину

где g — ускорение свободного падения. Если после

отклонения маятник начнет движение, то при отсутствии сопротивления он в силу закона сохранения энергии будет совершать незатухающие колебания относительно положения равновесия (точка А на рис. 3.1). При прохождении положения равновесия скорость v материальной точки является наибольшей по абсолютной величине, поскольку в этом

положении кинетическая энергия этой точки равна mv2 2 , так

Рис. 3.1

Пусть необходимо установить зависимость периода Т колебаний маятника (т.е. наименьшего промежутка времени, через который маятник возвращается в некоторое фиксированное положение, не совпадающее с положением равновесия) от параметров (параметр

v следует исключить из рассмотрения, поскольку его удалось выразить через указанные выше параметры). Размерности [ m,l, 0 , g ] четырех

параметров и периода Т колебаний можно выразить через к = 3 независимые стандартные единицы измерения: [Т] = с, [m] = кг, [ l ] = мс, [ 0 ] = 0 и [g] = м/с2. Поэтому в силу -теоремы из п = 5 параметров можно

составить n n k 2 безразмерные комбинации, причем угол 0 , будучи безразмерным, является одной из них. Во вторую безразмерную

118

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

комбинацию не удается включить массу m материальной точки, поскольку единица измерения массы (кг) входит лишь в размерность массы. Следовательно, величина m не является аргументом искомой зависимости, что можно установить и при построении теоретической ММ рассматриваемого маятника . После исключения параметра m имеем

п= 4 и к = 2, т.е. снова п = 2, так что наряду с безразмерным параметром

0 остальные

Пример 3.2 В качестве примера убедимся, что для механической системы, включающей тело 1 массой т, движущееся

Рис. 3.2

поступательно по горизонтальной плоскости и связанное с неподвижной опорой 2 пружиной 3 жесткостью с (рис. 3.2). Действительно, в соответствии со вторым законом Ньютона

запишем

скорость тела, P*(t) — внешняя сила, приложенная к телу и изменяющаяся (в общем случае) во времени , kтр — коэффициент вязкого трения при движении тела по горизонтальной плоскости, S — площадь поверхности контакта тела с этой плоскостью.

Отметим, что этот процесс может быть представлен в виде эквивалентных электромеханических схем представленных в разделе 3.2. Например, в виде дуальных цепей, на рис. 3.3 , а и б.

Используя введенные обозначения RM = kтрS, CM = 1/с и LM = m, представим выражение в виде

где to — некоторый момент времени, принятый за начальный. Из сравнения ММ рассматриваемой механической системы и ММ электрической цепи, изображенной на рис. 3.1, видно, что модели идентичны при выборе в механической системе силы в качестве потенциальной величины, аналогичной падению электрического напряжения, и скорости в качестве потоковой величины, аналогичной силе электрического тока. Это определяет I вариант электромеханической аналогии (табл. 3.1). Но если в механической системе

119

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

потенциальной величиной считать скорость, а потоковой — силу, то ММ этой системы будет идентична ММ электрической цепи, представленной на рис. 3.3,

Использование 2-ого варианта электромеханической аналогии удобнее при построении эквивалентной схемы механической системы, поскольку для этого варианта получают естественное механическое толкование законы Кирхгофа, используемые затем при переходе от эквивалентной схемы к ММ системы. В случае поступательного движения механической системы первый закон Кирхгофа будет аналогом уравнения равновесия всех сил (включая инерционные), действующих на рассматриваемый узел эквивалентной схемы, а второй — аналогом правила сложения скоростей при обходе контура этой схемы. При пространственном движении механической системы силы и скорости являются векторными величинами. Поэтому равенства, следующие из

120

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts