Материал: МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЗАДАЧАХ НЕФТЕГАЗОВОЙ ОТРАСЛИ

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

Дифференцируя первое уравнение системы по x и второе по t

Тогда получим

Обозначив получим

(4.44)

Уравнение (4.44) есть дифференциальное уравнение описывающее изменение давления капельной идеальной жидкости в длинном трубопроводе постоянного сечения.

В качестве начальных условий могут быть заданы распределения скорости и давления по длине трубопровода:

Используя зависимость (4.39), начальные условия (4.45) можно(4.45) представить только для или . Так, например, при помощи зависимости

(4.46)

условие (4.45) можно представить в виде

(4.47)

Обычно переходный режим в трубопроводе создается при пуске насоса, турбины компрессора, открытии или закрытии задвижек. При этом указанные агрегаты могут быть присоединены к трубопроводу непосредственно или же через устройства, предназначенные для регулирования расхода или уменьшения колебаний давления (например, воздушный колпак, уравнительная шахта, буферный резервуар компрессора и т.п.).

Вслучае если к одному концу трубопровода непосредственно

присоединен насос с расходом а на другом конце задано давление, граничные условия можно представить в виде

(4.48)

где F – поперечное сечение трубопровода.

146

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

(4.49)

Тогда задача о распределении давления в длинном трубопроводе, к одному концу которого присоединен насос с расходом , а на другом конце поддерживается давление , формулируется следующим образом:

(4.50)

Если насос отделен от трубопровода воздушным колпаком, для составления граничных условий при следует составить уравнение баланса для жидкости и уравнение состояния для воздуха, находящегося в воздушном колпаке.

Обозначим расход жидкости, вытекающей из колпака через , увеличение объема жидкости (или уменьшение объема газа) в колпаке через , площадь трубопропвода через F, средний объем и абсолютное давление

(4.51)

Если принять, что уравнение состояния для воздуха описывается законом Бойля-Мариотта, получится

откуда

(4.52)

Учитывая (6.5.14) получим

Отсюда

147

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

(4.53)

Выражение (4.53) является граничным условием для длинного трубопровода, к одному из концов которого через воздушный колпак присоединен насос. В этом случае задачу о переходном процессе в трубопроводе можно сформулировать в виде:

(4.54)

4.6. Вывод дифференциального уравнения колебаний мембраны.

Мембраной называется плоская тонкая пластинка, несопротивляющаяся изгибу и сдвигу. Мембрана способна значительно прогибаться под действием поперечной нагрузки и поэтому применяется в качестве чувствительного элемента в приборах для измерения давления, в акустических приборах, упругих муфтах и т.п.

Рассмотрим мембрану (Рис.4.6), натянутую по контуру силой, величина которой на единицу длины равна T. Плотность единицы площади мембраны обозначим через . Примем, что плоскость xOy совпадает с плоскостью мембраны при ее недеформированном состоянии. Мембрана нагружена по поверхности внешней нагрузкой с интенсивностью . Предполагается что деформация мембраны мала и происходит в направлении перпендикулярном плоскости xOy. В связи с этим так же предполагается, что натяжение мембраны и после деформации остается постоянным; увеличением площади мембраны в процессе колебаний пренебрегают. Отклонение точки мембраны от плоскости xOy обозначим через .

148

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

Рис.4.6

Для составления дифференциального уравнения колебаний мембраны из нее выделяется элемент с контуром L. Положительным направлением обхода этого контура принимается направление, противоположное

направлению вращения

Рис.4.6’

часовой стрелки. На длину данного контура действует сила натяжения

выделенного элемента мембраны с контуром L на плоскость xOy. Проекция равнодействующей сил натяжения, действующих по контуру L, на ост Ou обозначим через , тогда согласно принципу Даламбера имеем:

(4.55)

Вектор, по величине равный dl и касательный к контуру L в точке

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

Для фиксированного значения t и для случая выпуклой поверхности направляющие косинусы углов между нормалью и осями Ox, Oy и

Ou можно определить из выражений:

150

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts