Материал: МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЗАДАЧАХ НЕФТЕГАЗОВОЙ ОТРАСЛИ

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

Подставляя это значение в (6.3.1), получим

Уравнение (4.26) является дифференциальным уравнением поперечных колебаний струны.

Сформулируем дополнительные условия для струны с закрепленными

Помимо граничных условий (4.28) возможны граничные условия других типов. Наиболее распространенными являются следующие

и– известные постоянные.

Приведенные граничные условия называют соответственно граничными условиями первого, второго, третьего рода. Условия I имеют место в том случае, если концы объекта (струна, стержень и т.д.) перемещаются по заданному закону; условия II – в случае, если к концам приложены заданные силы; условия III – в случае упругого закрепления концов. Если функции,

141

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

заданные в правой части равенств, равны нулю, то граничные условия называются однородными. Так, граничные условия (4.27) – однородные.

4.4. Вывод дифференциального уравнения крутильных колебаний валов.

Пусть в сечении I-I (Рис.4.4), перпендикулярном к оси вала, момент

инерции вала через I0(x), полярный момент инерции площади сечения вала через J0(x), модуль сдвига через G(x) и угол поворота сечения вокруг оси вала через φ(x,t). Согласно принципу Даламбера можно написать

–

(4.30)

(4.31)

Рис 4.4

142

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

Согласно закону Гука касательное напряжение в сечении на расстоянии r от центра сечения равно

Где – угловое смещение сечении вала.

Момент внутренних касательных сил относительно центра сечения равен:

Следовательно,

–

(4.32)

Уравнение является дифференциальным уравнением 0 среде.

При ; ; ; получим дифференциальное уравнение свободных крутильных колебаний однородного вала в идеальной среде:

Обозначив получим

143

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

4.5. Вывод дифференциального уравнения нестационарного движения сжимаемой идеальной жидкости в длинном трубопроводе.

Выделим в потоке жидкости в трубе два поперечных сечения с расстоянием x между ними (Рис 4.5). Введем обозначения: ρ – плотность жидкости или газа; p – среднее давление в сечении; f – площадь поперечного сечения; v –

осредненная по площади продольная скорость; x – координата; t – время. Составим баланс массы втекающей и вытекающей из элемента потока x.

плотности. Если в момент времени t плотность выделенного объема была равна , то уменьшение массы жидкости в объеме равно

(4.33)

Разность масс, входящих и выходящих через соответствующие сечения I- I и II-II за промежуток времени t, равна

(4.34)

Приравняв (6.5.1) и (6.5.2), получим

Подстановка сюда выражения M дает

.

Это уравнение представляет собой уравнение неразрывности потока для сжимаемой жидкости в длинном трубопроводе с постоянным поперечным

сечении II-II P(x+ x,t), то проекция равнодействующей этих сил на ось x будет

144

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

(4.35)

Тогда уравнение движения примет вид

или

Уравнение (6.5.5) есть дифференциальное уравнение движения сжимаемой жидкости в длинном прямом трубопроводе с постоянным поперечным сечением.

Уравнения (6.5.3) и (6.5.5) образую систему

(4.37)

в которую входят три неизвестные величины:

Следовательно должно быть задано физическое уравнение, устанавливающее зависимость между плотностью и давлением. Для случая капельной сжимаемой жидкости, согласно закону Гука, изменение плотности жидкости принимается пропорциональным изменению давления

(4.38)

где – модуль объемного сжатия жидкости; – плотности при давлении

Из (4.38) получаем .

(4.39)

Подставляем (4.39) в (4.37) получим:

(4.40)

Для малых дозвуковых скоростей движение идеальной жидкости с равномерным распределением скоростей в сечении в уравнениях движения

можно пренебречь членами . Тогда система (4.40) примет вид

145

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts