Материал: МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЗАДАЧАХ НЕФТЕГАЗОВОЙ ОТРАСЛИ

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

Сила направлена по вектору

(4.56)

Отсюда для проекции силы на ось Ou получим

Сумма проекций всех сил натяжений, действующих по контуру направлений

Ou

Подынтегральное выражение зависит только от x и y, по этому криволинейный интеграл по контуру L можно заменить криволинейным интегралом по контуру

L´.

Согласно формуле Грина

Согласно теореме о среднем можно принять

151

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

Отсюда

(4.57)

где

Уравнение (6.6.3) есть дифференциальное уравнение вынужденных колебаний мембраны. При получим дифференциальное уравнение свободных колебаний мембраны в виде:

(4.58)

Если мембрана прямоугольная и жестко закреплена по краям, то граничные условия будут:

на краях мембраны, параллельных оси Oy

(4.59)

на краях мембраны, параллельных оси Ox

(5.60)

Если мембрана круглая, нагружена осесимметрично и края ее жестко закреплены, тогда перемещения сечений при будут равны нулю, т.е.

(4.61)

Кроме того, условие

(4.62)

Позволяет определить ограниченное решение. В качестве начальных условий принимаются

(4.63)

152

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

4.7. Вывод дифференциального уравнения движения колонны бурильных труб.

Рассмотрим малый элемент колонны бурильных труб, отстоящий от устья скважины на расстояние x (Рис.4.7). Обозначим площадь поперечного сечения этого элемента через F, удельный вес материала и модуль упругости

Согласно принципу Даламбера

(4.64)

где u – абсолютное перемещение сечения колонны.

второго и высших порядков малости, получим

.

153

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

Уравнение (4.65) есть дифференциальное уравнение движения колонны бурильный труб с учетом сопротивления среды. При получим дифференциальное уравнение движения колонны бурильных труб в виде:

(4.66)

Граничные условия для движения колонны бурильных труб будут выглядеть следующим образом:

(4.67)

(4.68)

где – тормозное усилие спускного механизма. Начальные условия имеют вид:

(4.69)

(4.70)

4.8. Вывод уравнения теплопроводности (одномерный случай).

Уравнения параболического типа наиболее часто встречаются при изучении процессов теплопроводности и диффузии. К этим уравнениям приводятся также задачи о движении вязкой жидкости, например, нефти.

Рассмотрим однородный стержень длины l, теплоизолированный с боков (через поверхность не происходит теплообмена с окружающей средой) и достаточно тонкий, чтобы в любой момент времени температуру во всех точках поперечного сечения можно было считать одинаковой. Расположим ось Ox так, чтобы один конец стержня совпадал с точкой x 0, а другой - с точкой

(Рис.4.9). Если тело нагрето неравномерно, то в нем происходит передача тепла из мест с более высокой температурой в места с более низкой

Рис.4.9

154

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

При выводе дифференциального уравнения теплопроводности воспользуемся следующими физическими закономерностями, связанными с распространением тепла.

1. Количество тепла Q , которое необходимо сообщить однородному телу, чтобы повысить его температуру на u , равно

Q cm u ,

где c - удельная теплоемкость, m - масса тела. Для стержня имеем

(4.71)

где - плотность материала стержня; S - площадь его поперечного сечения.

2. Перенос тепла в теле подчиняется эмпирическому закону Фурье: количество тепла Q , протекающее за время t через площадку S в направлении нормали n к этой площадке, равно

Q k un S t ,

где k - коэффициент внутренней теплопроводности (зависит от точки и не зависит от направления, если тело изотропно).

где коэффициент k будем считать постоянным в силу предположения о его однородности. Если стержень неоднороден, то k k x .

3. Если внутри тела есть источники тепла, то выделение тепла можно характеризовать плотностью тепловых источников, т.е. количеством выделяемого (или поглощаемого) тепла в единицу времени в единице объема. Обозначим через F x, t плотность источников в точке x рассматриваемого

И, наконец, воспользуемся законом сохранения энергии.

Итак, приступим к выводу уравнения. Выделим элементарный участок стержня, заключенный между сечениями x x1 и x x 2 x 2 x1 x , и составим уравнение теплового баланса на отрезке x1 , x 2 . Так как боковая

поверхность стержня теплоизолирована, то элемент стержня может получать тепло только через поперечные сечения. Согласно (6.8.2) количество тепла, прошедшее через сечение x x1, равно

через сечение x x 2 :

155

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts