Документ: МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЗАДАЧАХ НЕФТЕГАЗОВОЙ ОТРАСЛИ, страницы 146-150

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

Q2 k

u

S t .

x

x x2

Найдем приток тепла Q1 Q2 в элемент стержня:

Q

1

Q

2

k u

S t k u

S t

x

x x

2

1

u

2

u

k

x

S t k x 2 xS t.

x x2

x x1

(К разности частных производных применена теорема Лагранжа).

Кроме того, в результате действия внутренних источников тепла на этом

участке в течение времени t выделится количество тепла согласно (4.73)

Q3 F x, t S x t .

Все тепло Q Q1 Q2 Q3

за

время

t

пойдет на изменение

температуры выделенного элемента стержня на величину u . И поэтому сообщенное количество тепла Q , с другой стороны, может быть найдено согласно формуле (4.71):

Q c S x u x, t 2 u x, t1 c S x ut t .

В силу закона сохранения энергии имеем равенство

k	2 u xS t. F x, t S x t c S x u t .
	x 2				t
Сокращая на общий множитель S x t , получим уравнение
		k	2 u F x, t c		u .
			x 2		t
Введя обозначения	k	a 2 ,	F x, t	f x, t , придем к уравнению
			c
	c
		u a 2 2 u		f x, t .	(4.74)
		t	x 2
Это и есть искомое дифференциальное уравнение распространения тепла

в однородном стержне. Уравнение (4.74) называют уравнением

теплопроводности, в котором постоянную	a 2	называют коэффициентом
температуропроводности. Коэффициент	a 2	имеет размерность м 2 /с.

Уравнение (4.74) является линейным неоднородным уравнением

параболического типа.

Вывод дифференциального уравнения распространения тепла внутри тела, отнесенного к пространственной системе координат, основан на тех же физических законах. Поэтому, ограничившись выводом уравнения для

156

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

простейшего случая – одномерного, лишь приведем уравнение для трехмерного пространства.

Процесс распределения температуры u u x, y, z, t

в изотропном теле

описывается уравнением

u

a 2

2 u

f x, y, z, t ,

2

(4.75)

t

x

y

z

которое кратко записывается так:
				u a 2 u f x, y, z, t ,			(4.76)
				t
где	2	2			2
						- оператор Лапласа.
	x 2	y2			z2	- оператор Лапласа.
Уравнение			(4.76) описывает также процессы				диффузии, где u -
концентрация диффундирующего вещества, и другие.
Чтобы определить температуру внутри тела в любой момент времени,

недостаточно одного уравнения (4.76). Необходимо, как следует из физических соображений, знать еще распределение температуры внутри тела в начальный момент времени (начальное условие) и тепловой режим на границе тела (граничное условие).

Начальное условие в отличие от уравнения гиперболического типа задается только одно, т.к. исходное уравнение содержит лишь первую производную по времени.

Граничные или краевые условия могут быть различны в зависимости от температурного режима на границе тела. Основными видами тепловых режимов являются следующие: I – на границе поддерживается определенная температура; II – на границу подается определенный тепловой поток; III – происходит теплообмен с внешней средой, температура которой известна. Им соответствуют граничные условия первого, второго, третьего рода.

Сформулируем прежде условия для одномерного уравнения

теплопроводности.

Начальное условие состоит в задании функции u u x, t

в начальный

момент времени t 0 :

u x,0 u

t 0

x .

(4.77)

Выведем граничные условия в случаях I – III.

1. На концах стержня (или на одном конце) задается температура

u

x 0

1 t ,

u

x

2 t ,

(4.78)

где 1 t ,

2 t -

t T ,

функции, заданные в некотором промежутке t 0

причем T есть промежуток времени, в течении которого изучается процесс. В

частности,

1 t u1 const ,

2 t

u2 const , т.е.

на

концах

поддерживается постоянная температура u1

и u 2 .

157

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

2. На одном из концов (или на обоих) задано значение производной искомой функции. Например, для сечения x 0


u		1	t .	(4.79)
x
	x 0			q1 t - величина

Дадим физическое толкование этому условию. Пусть

теплового потока, т.е. количество тепла, протекающего через торцевое сечение

x 0 в единицу времени. Тогда уравнение теплового баланса для элемента

стержня 0; x

в период времени t 2 t1 t ,

как и при выводе уравнения

(4.74) запишется в виде

q

1

t t k u x, t S t c S x u t .

x

t

q1 t

Сократив на t

и перейдя к пределу при x 0, получим

u

0, t

.

x

k S

Таким образом,

имеем условие (4.80), в котором 1 t - известная функция,

выражающаяся через заданный поток тепла q

t

по формуле

t

q1 t

.

1

k S

Аналогично для сечения x l , через которое протекает количество тепла

q2 t , найдем

q 2 t

u

x l

.

x

k S

Следовательно,

условие

или

имеет место в

случае, когда на соответствующем конце стержня задан тепловой поток, втекающий или вытекающий. В частности, если концевое сечение теплоизолировано, то q1 t 0 или q2 t 0 , и следовательно,

или

3. На одном из концов (или на обоих) задается линейное соотношение между функцией и ее производной. Например, для сечения

.

(4.80)

Условие (4.80) используется в случае процесса теплоотдачи, т.е. переноса тепла от тела к окружающей среде. Закон теплообмена сложен; но для упрощения задачи он может быть принят в виде закона Ньютона. Согласно эмпирическому закону Ньютона количество тепла, отдаваемого в единицу времени с единицы площади поверхности тела в окружающую среду, температура которой известна, пропорционально разности температур

поверхности тела и окружающей среды:

q u ,

158

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

где - коэффициент теплообмена (или внешней теплопроводности).

Можно определить тепловой поток через сечение стержня, воспользовавшись двумя выражениями в силу закона сохранения энергии. Согласно закону Ньютона тепловой поток q t , вытекающий через сечение

x l , равен

.

С другой стороны, такой же тепловой поток должен подводиться изнутри путем теплопроводности. Поэтому согласно закону Фурье

.

Приравнивая правые части этих выражений, найдем

.

Отсюда получаем математическую формулировку условия в виде

,

в котором положено h k , 3 t h t .

Граничные условия, наложенные на значение производной u x x, t , называют условиями второго рода. А условия, наложенные как на значение функции u x, t , так и на значение производной u x x, t , называют условиями

третьего рода.

В случае граничных условий вида (4.78) - (4.80) говорят соответственно о

первой, второй, третьей краевых задачах для уравнения теплопроводности. Начальное условие для всех указанных краевых задач остается тем же самым и дается равенством (4.77).

Так, первая краевая задача состоит			в отыскании решения u u x, t
уравнения
u	a 2 u f x, t	при	, 0 t T ,
t	xx
удовлетворяющего условиям
	u x,0 x ,		,
	u 0, t 1 t ,		, 0 t T .
Аналогично ставятся другие краевые задачи с различными комбинациями
граничных условий при x 0 и		.

Кроме названных задач довольно часто встречаются предельные случаи – вырождения основных краевых задач. Одним из таких случаев является задача Коши, которая состоит в отыскании решения u x, t в неограниченной области, удовлетворяющего только начальному условию.

Если процесс теплопроводности изучается в очень длинном стержне, таком что влияние температурного режима, заданного на границе, в центральной части стержня оказывается весьма слабым в течение небольшого промежутка времени и определяется в основном лишь начальным

159

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

распределением температуры, то тогда считают, что стержень имеет бесконечную длину и ставят задачу Коши.

Задача Коши		для «бесконечного» стержня (идеализация достаточно
длинного	стержня)		математически формулируется	так: найти	решение
u u x, t	уравнения		теплопроводности в области	x ,	t 0 ,

удовлетворяющее начальному условию

u t 0 x x , где x - заданная функция.

Если участок стержня, температура которого нас интересует, находится вблизи одного конца и далеко от другого, то в этом случае температура практически определяется температурным режимом близкого конца и начальным условием. При этом стержень считают полубесконечным. Приведем

в качестве

примера

формулировку

первой

краевой

задачи для

«полубесконечного» стержня: найти решение

u u x, t

уравнения

теплопроводности в области 0 x , t 0 , удовлетворяющее условиям

u

t 0 x ,

0 x ,

u

x 0 t ,

t 0 ,

где x и t - заданные функции.

Для уравнения (4.76) теплопроводности в пространстве V , ограниченном

поверхностьюS , начальное условие записывают в виде

u x, y, z,0

x, y, z ,

а на границе S области V функция

u u x, y, z, t

должна удовлетворять

одному из условий:

1) u x, y, z, t

S f1

M, t (граничное условие 1-го рода);

2)

u

f

2

M, t (граничное условие 2-го рода);

n

S

где n -

внешняя нормаль к поверхности S ; в частности, если поверхность S

теплоизолирована, то u

0 ;

u

n

S

3)

f3

M, t (граничное условие 3-го рода).

hu

n

S

Здесь M x, y, z

- текущая точка поверхности S .

160

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

Материал: МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЗАДАЧАХ НЕФТЕГАЗОВОЙ ОТРАСЛИ

Смотрите также: