Материал: МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЗАДАЧАХ НЕФТЕГАЗОВОЙ ОТРАСЛИ

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

2. ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

2.1. Методы теории подобия

Термин «подобие» первоначально заимствован из геометрии, из подобия геометрических фигур. В простейшем случае геометрическое подобие заключается в следующем: треугольники или многоугольники подобны, если у них соответственные углы равны и стороны пропорциональны [18].

Несколько сложнее геометрическое подобие в пространстве.

Если ввести систему геометрических координат, то условие геометрического подобия состоит в том, что все координаты первой геометрической фигуры пропорциональны соответственно координатам второй геометрической фигуры, а соответственные углы равны.

Степень пропорциональности определяет масштаб подобия.

Таким образом, масштаб подобия геометрических фигур по всем осям одинаков. По углам он равен единице.

Дальнейшим развитием геометрического подобия является так называемое аффинное подобие, при котором масштабы подобия по координатным осям различны.

Понятие «подобие физических процессов» является развитием понятия аффинного подобия.

Любой физический процесс φ0 можно представить в виде функциональной зависимости F между параметрами системы и процесса

P1, P2,...Pj,...Pn, т.е. φ0 = F ( P1, P2,...Pj,...Pn ). Последняя графически может быть отображена в n-мерном пространстве x1,x2,…xj,…xn, причем P1 откладывается

по оси x1, Р2 по оси х2 и т.д. Здесь одним из параметров может быть время, тогда xj = t. Аналогично, в том же координатном пространстве, может быть отображён и другой процесс Ф0 =F(R1, R2,...Rj ,...Rn), характеризующийся сходственными с φ0 параметрами. Если при этом все сходственные параметры

пропорциональны, т.е. P1 / R1 = m1, …Pj / Rj = mj,…Pn / Rn= mn, то процессы Ф0 и φ0 подобны. Однако не все масштабные коэффициенты m1,...,mj,...,mn

физического процесса могут принимать независимые значения, т.к. они определены через другие. Например, если взять проходку на долото, время бурения и механическую скорость, то последние два показателя - независимые, а первая определяется через эти два. Это предопределяет возможность введения некоторых обобщенных характеристик подобных процессов, составленных из зависимых и независимых параметров, которые называют критериями подобия.

Применительно к физическому процессу понятие "сходственные величины" значительно сложнее, чем в геометрии. Поэтому в общем случае под подобием понимается такое соответствие между объектами – оригиналом и моделью, при котором известны правила перехода от параметров одного к параметрам другого, а математическое описание (если оно известно или может быть получено) допускает преобразование их к тождественному виду.

26

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

Различение в видах подобия осуществляется по двум признакам; по виду физической природы явлений (физическое подобие, математическое подобие и т. д.) и по степени соответствия параметров оригинала и модели.

Абсолютное подобие характеризуется тем, что в сходственные моменты времени в сходственных точках пространства параметры одной системы Pj

Абсолютное подобие, требующее по сути тождества явлений, на практике - понятие абстрактное. Оно реализуемо в геометрических построениях и отдельных видах математического подобия. Поэтому более важно понятие практического подобия, которое может быть полное, неполное и приближённое.

Полное подобие - это подобие протекания во времени и в пространстве только тех процессов, которые существенны для конкретной задачи и достаточно полно характеризуют изучаемое явление.

Неполное подобие - это подобие процессов либо только во времени, либо только в пространстве.

Приближённое подобие характеризуется принятием упрощающих допущений, которые приводят к некоторому искажению процессов в двух объектах, но которые считаются допустимыми на основании предварительных оценок.

С точки зрения адекватности физической природы подобных явлений различают два основных вида подобия: физическое и математическое.

Физическое подобие достигается при одинаковой физической природе явлений. При физическом подобии механическим процессам ставятся в соответствие механические процессы, электрическим - электрические и т.д.

Частным видом физического подобия является:

•кинематическое подобие- подобие скоростей, ускорений твердых тел, жидкостей, газов;

•материальное подобие - подобие масс отдельных элементов системы;

•динамическое подобие - подобие сил, моментов и т.д.

При наличии этих трёх видов подобия говорят о

•механическом подобии.

•Тепловое подобие предполагает подобие температур и тепловых потоков. Аналогично вводится понятие

•гидравлического, электрического, электродинамического, оптического

ит.д. подобия.

Подобие может быть и в более сложных случаях:

• химическое, физико-химическое и т.д.

Подобие может устанавливаться не только детерминированным законом, но и для явлений, подчиняющихся стохастическим закономерностям:

• статистическое подобие.

По мере развития представлений о сложных системах понятие подобие приобретает всё более широкое содержание. Стали вводиться особые виды подобия, к которым относят:

27

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

•функциональное подобие (с точки зрения выполнения сходных функций);

•эквивалентное подобие (описываются явления не одинаковыми, а в том или другом смысле эквивалентными уравнениями);

•кибернетическое подобие (подобная реакция на изменение внешней среды и подобная структура управления обратных связей);

•интегральное подобие и другие.

•квазиподобие (подобие, основанное на использовании переменных масштабных коэффициентов).

Вобщем случае теория подобия - это теория, дающая возможность установить наличие подобия или позволяющая разработать способы достижения его. Соотношения между моделью и оригиналом, выявляемые теорией подобия, могут быть различными: в виде простых масштабных соотношений (при геометрическом подобии), в виде сложных функциональных зависимостей группы параметров сопоставляемых объектов (критерии подобия). Под объектами в дальнейшем ради краткости будем понимать также и различные процессы.

Вряде случаев такие зависимости могут и не иметь представлений в виде явного математического уравнения (например, лишь в виде функциональных зависимостей, при проверке на животных лекарственных препаратов, предназначенных для людей, и т.д.).

Основные положения теории подобия определяют свойства подобных объектов и указывают требования, при удовлетворении которых один из них можно рассматривать как оригинал (или модель) по отношению к остальным. Основной характеристикой подобных объектов являются критерии подобия, с помощью которых устанавливаются закономерности взаимно - однозначного соответствия модели и оригинала.

Можно дать следующее определение критериев подобия.

Критерии подобия – это идентичные по форме алгебраической записи и численно равные для подобных объектов безразмерные степенные симплексы и комплексы определенных групп параметров, характеризующих эти объекты.

Если, например, заранее известно, что объекты подобны, то соответствующие критерии подобия для оригинала и модели в обязательном порядке будут численно равны между собой. Напротив, обеспечив численную одинаковость соответствующих критериев подобия для объектов, мы обеспечим, тем самым, их подобие. В этом случае совсем неважно, что из них считать оригиналом, а что моделью. Это определяется лишь физическим смыслом решаемой задачи.

Очень важным является то, что критерии подобия могут быть получены, когда математическое описание объекта известно и оно неизвестно.

Как отмечалось выше, теория подобия основана на ряде теорем. Есть различные формулировки первой теоремы подобия. Впервые она была сформулирована еще И. Ньютоном в 1686 г., а в более общей постановке Ф. Бертраном в 1848 г., в силу чего называется также теоремой Ньютона -

Бертрана. В современной формулировке, учитывающей возможность

28

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

существования различных видов подобия, первая теорема подобия имеет следующий вид: явления, подобные в том или ином смысле, имеют определенные сочетания параметров, называемые критериями подобия, численно одинаковые для подобных явлений.

Для получения критериев подобия по известным уравнениям исследуемых процессов выполняется ряд преобразований исходных уравнений с использованием правила Фурье, в соответствии с которым все члены уравнения имеют одинаковую размерность. Здесь возможны два случая:

1)все члены уравнения - однородные функции параметров и их производных. При этом все члены уравнения имеют общий множитель, который может быть вынесен за скобки в виде общего множителя;

2)часть членов уравнения - неоднородные функции параметров, не допускающие выноса за знак функции общего множителя.

В первом случае для получения критериев подобия все члены уравнения делятся на какой-либо из них, и посредством элементарных преобразований получают критерии подобия.

Во втором случае критерии подобия могут быть получены методом интегральных аналогов. При этом используется то свойство подобных процессов, что должны быть равны аргументы неоднородных функций.

Покажем применение указанных методов на конкретных примерах.

Пример 1. Получить критерии подобия для n объектов с массами m1 m2,…,mn, движение которых описывается однородным уравнением

Здесь n может быть сколь угодно большое число (в пределе оно может быть равно бесконечности). Ясно, что оно не может быть меньше двух.

Поскольку движение каждого из n объектов описывается уравнением (2.1), то критерии подобия могут быть получены путем составления и решения системы из n уравнений. Однако в этом нет необходимости: для рассмотрения задачи достаточно взять любые два объекта и полученный результат без нарушения общности распространить на все n объектов.

Пусть таковыми будут первые два объекта, которые снабдим индексами 1 и 2. Составим систему из двух уравнений вида (2.1) и, перенеся все члены

уравнений в левую часть, будем иметь

Разделив первое уравнение системы на f1, а второе на f2, получим

29

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

где k с соответствующими индексами суть масштабы подобия параметров объектов. Подставив их во второе из уравнений системы (2.3), получим

Поскольку все соотношения (1.7) одинаковы между собой, то вообще можно освободиться от индексов и записать:

основным критерием механического подобия для данного вида движения и обозначается через π в честь этого числа.

Критерий подобия π всегда будет представлять некоторое число.

Теперь рассмотрим задачу, когда уравнение нелинейно относительно входящих в него параметров. Нелинейность уравнения наиболее часто бывает связана с наличием в уравнении по меньшей мере одного члена, содержащего сомножитель в виде нелинейной (например тригонометрической) функции.

30

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts