Материал: МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЗАДАЧАХ НЕФТЕГАЗОВОЙ ОТРАСЛИ

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

уравнения, была строго доказана для частного случая Букингемом, а в более общем виде как математическая теорема – Федерманом. Возможность получения критериев подобия при отсутствии дифференциального уравнения процесса на основе анализа размерностей физических величин, участвующих в этом процессе, была строго доказана в виде теоремы Афанасьевой – Эренфест.

Эта теорема является настолько важной, что ей дали специальное название π – теорема. Она позволяет получить критерии подобия и в тех случаях, когда уравнение процесса можно представить лишь виде функциональной зависимости между параметрами системы и процесса:

где f и F означают лишь символы зависимости.

π – теорема имеет несколько формулировок, одна из которых (основная)

следующая. Всякое полное уравнение физического процесса, записанное в определенной системе единиц, может быть представлено в виде функциональной зависимости между критериями подобия, полученными из участвующих в процессе параметров.

Покажем применение – теоремы на известном примере с колебаниями груза массой m на пружине с жёсткостью С в вязкой среде, сила сопротивления которой пропорциональна скорости V, т.е.

Fс= – k V;

на груз действует возмущающая сила F. Отклонение груза от состояния равновесия обозначим через х.

Запишем для него следующую функциональную зависимость:

дать n – r (7 – 3 = 4) критерия подобия.

Рассмотрим ряд способов получения критериев подобия на основе π – теоремы

1) классический способ Обозначая критерии подобия через π, можем записать

Показатели степеней zl, z2,..., z7 должны быть определены так, чтобы размерность π была равна нулю (π в нулевой степени равно единице).

Далее вместо m, С,..., k подставляются их размерности через первичные единицы измерений:

где Pi – любой из 7 параметров. Подставляя (2.17) в (2.16), получаем

36

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

Система (2.19 )имеет n -– r (7 – 3 = 4) независимых решения. Каждое решение должно дать один критерий подобия. Следовательно, необходимо

Таблица 2.1

Размерности физических величин

решить систему уравнений (2.19).

Степени размерности параметров представлены выше в виде таблицы 2.1.

выбирают наиболее простые значения, но так, чтобы уравнения системы не противоречили друг другу. Например, нельзя дать произвольное значение для z1, z2, z3 и z7 т.к. в этом случае первое и второе уравнения будут противоречить друг другу.

1 Принимаем z1 = l, z2 = z6 = z7 = 0. Тогда: z3 + z5 = 0; l + z5 = 0;

37

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

z4 - 2 z5 = 0. Отсюда получаем: z5 = - l, z3 = l, z4 = -2.

Итак, первое решение: z1 = l, z2 = 0, z3 = l, z4 = -2, z5 = -l, z6 = 0, z7 = 0. 2 Пусть z1 = 0, z2 = 1, Z6 = Z7 = 0.

Тогда получаем z3 + z5 =0, 1 + z5 = 0, 2 + z4 - 2z5= 0. Отсюда получаем z5 = - l, z3 = l, z4 = 0, z6 = z7 = 0.

Поэтому второе решение будет: z1 = 0, z2 = l, z3 = l, z4 = 0, z5 = -l, z6 = 0, z7 = 0. 3 Принимаем z1 = z2 = 0, z6 = 1, Z7 = 0.

Тогда z3 + z5 = 0, z5 = 0, z4 - 2z5 – l = 0. Отсюда z5 = 0, z3 = 0, z4 = l.

Следовательно, третье решение: z1= 0, z2 = 0, z3 = 0, z4 = 1, z5 = 0, z6 = l, z7 = 0.

4 z1 = z2 = z6 = 0, z7 = l.

Тогда z3 + z5 = 0, z5 + l = 0, z4 - 2z5 - l= 0. Отсюда z5 = - l, z3 = l, z4 = - 1.

Таким образом, получены все четыре решения, которым соответствуют четыре критерия подобия.

Из первого решения получаем критерий

Критерии подобия можно получить и другим видоизмененным способом. Выбрав какие-либо 3 параметра по числу основных единиц измерения – метр, килограмм, секунда, – для которых определитель не равен нулю, можно прийти к безразмерным соотношениям.

Выберем в качестве основных единиц, например, параметры m, ω, F0.

Проверим их независимость. Их размерности следующие:

[m] = [M]1 [L]0 [T]0 , [ω] = [M]0 [L]0 [T]- 1 , [F0 ] = [M] [L] [T]- 2 .

Запишем уравнение (2.16) в следующей форме:

38

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

В этом уравнении индексы при показателях степени соответствуют порядковому номеру параметров в уравнении (2.16).

Значения показателей степеней при a, b и с определяют из условия, что входящие в (2.25) комплексы – безразмерные величины.

Ранее было получено

39

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

Поскольку любая комбинация критериев представляет также критерий подобия, то результат, конечно же, получился тот же, только изменилась форма их записи.

Можно применять еще более простой способ, не требующими составления уравнений и их решения. Вся эта процедура как бы проделывается в уме, и критерии получаются сразу же.

Последовательность работ при этом следующая:

1)составляется функциональная зависимость между параметрами;

2)выбираются параметры в качестве основных. Их число должно быть равно числу первичных единиц измерения. В механике их три. Поэтому при решении задач из области механики параметры, выбранные в качестве основных, должны в совокупности дать меры массы, длины и времени;

3)указываются размерности выбранных параметров, проверяется их независимость;

4)указываются размерности всех оставшихся параметров;

5)в числитель дроби последовательно выписывается каждый из n - r оставшихся параметров, а в знаменатель - выбранные в качестве основных в соответствующих степенях так, чтобы полностью освободиться от размерности этой дроби. При выполнении этих работ следует придерживаться определенных правил. Они следующие.

1. При составлении функционального уравнения следует учитывать по возможности все параметры, которые, по мнению исследователя, могут влиять на исследуемый процесс. При этом используется, как правило, метод последовательного развертывания и детализации параметров. Если при этом окажется, что несколько более сложных параметров в конечном счете могут быть выражены через более простые параметры, то после развертывания и детализации эти более простые параметры войдут в уравнение более одного раза, т.е. повторяться. Тогда освобождаются от повторений, удерживая каждый параметр лишь один раз. Например, если у одного и того же объекта были приняты размеры поперечного сечения a и b, площадь поперечного сечения S и момент инерции I, то в конечном счете можно оставить лишь а и b, a S и I опустить, т.к. последние могут быть выражены через первые. Но возможно и наоборот: сохраняя S и I, опустить а и b. Например, при изучении продольной устойчивости балки (стержня, бурильных труб и т.д.) более важен параметр I,

40

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts