СПБГУАП| Институт 4 группа 4736
Пример 2. Получить критерии подобия для процесса колебания груза с массой m на пружине с жёсткостью С в вязкой среде, в которой силы сопротивления пропорциональны скорости движения.
Уравнение движения груза имеет вид
m |
d 2l |
k |
d l |
С l F sin t . |
(2.9) |
d t 2 |
|
||||
|
|
d t |
|
||
|
Нелинейность уравнения (2.9) |
здесь связана наличием сомножителя |
|||
sin t :при увеличении аргумента t |
функция sin t изменяется по закону |
||||
гармонических колебаний.
В этом случае критерии подобия получают методом интегральных аналогов.
1 Исходное уравнение записывается в виде
φ0 |
= ∑ φi = |
0. |
|
|
|
|
|
||
|
2 Опускаются символы связи между членами уравнения, а последние |
||||||||
записываются в виде |
|
|
|
||||||
f1 |
m |
d 2l |
; |
f2 k |
d l |
; |
f3 С l; |
f4 F sin t . |
|
d t 2 |
d t |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
3 Исключаются из |
выражения для φ0 все неоднородные функции и |
|||||||
принимаются в качестве дополнительных критериев подобия аргументы
этих функций: принимается f4 F ; |
доп t . |
|||||
4 |
Опускаются символы дифференцирования, интегрирования или |
|||||
других математических операций: |
grad, div, rot, div rot, rot div, rot rot и |
|||||
т.д. |
|
|
|
|
|
|
5 |
Заменяются члены уравнения φi, преобразованные на этапах 3 и 4, |
|||||
их интегральными аналогами |
|
|||||
φi: 1 m |
l |
; 2 k |
l |
; 3 C l; |
4 F . |
|
t 2 |
|
|||||
|
|
|
t |
|
||
Поскольку математические операторы не влияют на размерность физических величин, то все интегральные аналоги φi будут иметь те же размерности, что и дифференциальные члены f i .
6 Все интегральные аналоги разделяются на какой - либо один из них, и записываются выражения для основных критериев подобия в одной из форм:
|
i , i, j = 1, 2...n – 1. |
|
j |
|
Выбор интегрального аналога, на который разделяются все остальные |
интегральные аналоги, совершенно произволен, при этом руководствуются лишь соображениями удобства. Таковым обычно является интегральный аналог, имеющий наиболее простую форму записи.
7 Данный ряд основных критериев подобия дополняется критериями, полученными на этапе 3.
31
Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts
СПБГУАП| Институт 4 группа 4736
8 Преобразуются (при необходимости) полученные критерии в иную (более удобную) форму записи посредством их перемножения, деления, возведения в степень и т.д.;
9 |
|
По |
полученным критериям записываются масштабы подобия. |
||||||||||||||||
Тогда, разделяя интегральные аналоги на |
4 F , получим |
||||||||||||||||||
|
|
|
ml |
, |
|
|
kl |
, |
|
|
Cl |
, |
|
|
|
t . |
(2.10) |
||
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
доп |
||||||||||||
|
|
Ft |
2 |
|
|
Ft |
2 |
|
|
F |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Поскольку n членов уравнения дают n-1 основных критериев подобия, то общее число критериев kj, найденных способом интегральных аналогов, будет равно
kj = (n-1) + a,
где a - число дополнительных критериев подобия, причем n-1 критериев можно записать n-1 способами.
Эти два рассмотренных способа составляют лишь ничтожно малую часть случаев получения критериев подобия, поскольку отношение числа объектов, уравнение состояния которых известно, к общему их числу в пределе равно нулю. Поэтому несравненно больший интерес представляют способы получения критериев подобия для задач, уравнения которых в явном виде не известны, и их можно представить лишь в виде функциональных зависимостей.
2.2. Анализ размерностей
Важным случаем является получение критериев подобия, когда уравнение процесса в явном виде не известно. Критерии подобия в этом случае можно получить на основе анализа размерностей.
Измерить какую-либо величину - значит сравнить её с другой величиной той же природы, значение которой известно и принято за эталон.
Единицы измерения различных физических величин, объединенные на основе непротиворечивости друг другу, образуют систему единиц измерения.
Внастоящее время применяется Международная система единиц измерения СИ (System International), принятая в начале 70-х годов прошлого столетия.
Всистеме СИ выбраны следующие, независимые друг от друга величины измерения: массы – кг (килограмм); длины – м (метр), времени – с (секунда); температуры – K (градусы Кельвина); силы тока – А (ампер); количества вещества – n (моль) и силы света – Y (свеча, или кандела); Они называются первичными единицами измерения. Через них выражаются все остальные единицы измерения, которые называются вторичными, или производными.
Для решения задач в области механики достаточно иметь три первичные единицы измерений: мер длины, массы и времени. В качестве эталона длины до недавнего времени служил платиновый метр, хранившийся в Парижской палате
32
Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts
СПБГУАП| Институт 4 группа 4736
мер и весов. Эталоном массы является платиновая гиря в один килограмм, хранящийся там же. За эталон времени считали 1/86400 часть земных суток. После принятия системы СИ прототипы некоторых эталонов мер были уточнены: в настоящее время метр есть длина пути, проходимого светом в вакууме за интервал времени, равный 1/299 792 458 с;
секунда равна 9192631770 периодам излучения, соответствующего переходу между двумя сверхтонкими уровнями основного состояния атома цезия – 133;
ампер равен силе неизменяющегося тока, который при прохождении по двум параллельным прямолинейным проводам бесконечной длины и ничтожно малой площади поперечного сечения, расположенным в вакууме на расстоянии 1м один от другого, вызвал бы на каждом участке проводника длиной в 1м силу взаимодействия, равную 2 10 7 Н (Ньютон);
градус Кельвина равен 1/273,16 части термодинамической температуры тройной точки воды;
моль равен количеству вещества системы, содержащей столько же структурных элементов, сколько содержится атомов в углероде -12 массой
0,012 кг;
кандела равна силе света в заданном направлении источника, испускающего монохроматическое излучение частотой 540·1012 Гц (герц), сила излучения которого в этом направлении составляет 1/683 Вт/ср (ватт на стерадиан).
Кроме приведенных величин допускаются к использованию кратные и дольные единицы измерения, а также большое множество внесистемных единиц, нашедших широкое применение в различных отраслях народного хозяйства. Следует, однако, иметь в виду, что при выполнении вычислений в расчетных формулах рекомендуется использовать производные величины с размерностями, выраженными через первичные величины, что исключает вероятность ошибок, связанных с применением кратных или дольных единиц измерения.
Формула, указывающая зависимость единицы измерения производной величины от основных единиц измерения, называется размерностью этой величины. Например, определительным уравнением для скорости является уравнение V = dl / dt.
Принято использовать следующие символы для выражения размерностей величин: М – масса, L – длина, Т – время, θ – градусы температуры,
I – сила тока, n – количество вещества Y – сила света.
Аналогичные символы используются также для выражения производных величин. Например: F – сила, А – работа, N – мощность и т.д. Системой СИ они не регламентируются.
Символы обычно помещаются в квадратные скобки. Например, для скорости это будет выглядеть так: [V] = [L] [T]-1.
Поскольку определительное уравнение для силы согласно второму закону Ньютона есть F = m a, то [F] = [M] [L] [T]-2.
Для работы A = F S; S – длина пути, [A] = [M] [L]2 [T]-2 .
33
Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts
СПБГУАП| Институт 4 группа 4736
Необходимо иметь в виду, что размерность любой физической величины представляет собой произведение возведенных в какие – либо степени размерностей первичных величин.
Хотя число первичных величин в общем случае равно семи, обычно не все они одновременно используются при решении конкретных задач, причем тип используемых величин зависит от области знаний или техники, к которой относится данная задача. Так, для механической системы достаточно трех первичных величин: длины, массы, времени. Поэтому размерность любой физической величины Q в механической системе может быть выражена
через размерности этих трех первичных величин следующим образом:
[Q] = [M]α [L]β [T]γ,
где пока неизвестные показатели степени α, β, γ подлежат определению. Интересен вопрос: можно ли вместо первичных величин выбрать какие –
либо иные (производные, т.е. вторичные) величины u1, u2, u3.? Если да, то когда это возможно? Такой вопрос возникает в связи с тем, что процедура получения критериев подобия заключается в освобождении от размерностей входящих в функциональное уравнение параметров путем использования размерных величин. Ясно, что если в функциональном уравнении имеются параметры, размерности которых совпадают с размерностями первичных величин, то получение критериев подобия с их использованием не составит труда. Однако такая ситуация наблюдается редко. Гораздо чаще встречаются ситуации, когда число параметров в функциональном уравнении с простейшими размерностями менее трех. Тогда– то и возникает необходимость выбора производных величин, по крайней мере, одного или двух вместо первичных.
Для ответа на этот вопрос выразим эти новые величины через старые:
u1 |
M |
L |
T |
|
||
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
2 |
2 |
2 |
|
||
u2 M |
|
L |
|
T |
|
|
|
3 |
|
3 |
3 |
(2.11) |
|
u3 M |
|
L |
|
T |
||
Прологарифмировав (2.11), будем иметь:
lg [u1] = α1∙lg [M] + β1∙lg [L] + γ1∙lg [T]
lg [u2] = α2∙lg [M] + β2∙lg [L] + γ2∙lg [T] (2.12) lg [u3] = α3∙lg [M] + β3∙lg [L] + γ3∙lg [T],
т.е. получим систему уравнений, из которой можно найти коэффициенты при условии, что определитель, составленный из них, отличен от нуля, причем это решение будет единственное.
Составим определитель
|
1 1 1 |
|
|
|
|
|
|
||
D |
2 |
2 2 |
0 |
(2.13) |
|
3 |
3 3 |
|
|
|
|
|
|
|
34
Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts
СПБГУАП| Институт 4 группа 4736
Условие (2.13) означает также независимость величин u1 ,u2,u3 . Тогда
приходим к следующему заключению. Для получения критериев подобия вместо первичных величин можно выбрать любые три величины при условии:
1)размерности величин u1, u2, u3 являются независимыми функциями первичных размерностей [M], [L] и [T], т.е.
2) |
u1 u2 |
u3 |
|
; |
u2 u1 |
u3 |
; |
u3 u1 |
u2 |
|
при |
|||||
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
3 |
|
3 |
|
|
любых и |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
возможно однозначное обратное преобразование, т.е.[M], [L] и [T] можно |
|||||||||||||||
|
единственным образом выразить через |
[u1], [u2] и [u3]. |
|
|
||||||||||||
|
Например, если взять величины L, T и F, то |
|
|
|
||||||||||||
|
[L] = [M]0 [L]1 [T]0; [T]= [M]0 [L]0 [T]1; [F] = [M]1 [L]1 [T]-2. |
|
||||||||||||||
|
Тогда определитель равен |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
0 1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
D |
0 0 1 |
1 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 1... 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
3) эти три величины должны дать в совокупности размерности всех трех |
|||||||||||||
|
первичных величин. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
Выбранные таким образом три параметра называются основными |
|||||||||||||
|
параметрами. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Совершенно ясно, что эти фундаментальные положения будут |
|||||||||||||
|
справедливы для любого числа первичных величин. |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
Проверить самостоятельно: можно ли в качестве основных выбрать |
|||||||||||||
|
параметры: 1) F, ρ, t; |
2) F, V, N, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
где F – сила; |
ρ – плотность; |
t – время; V – скорость; N - мощность. |
|||||||||||||
|
|
|
Размерности некоторых производных величин будут следующие: |
|||||||||||||
|
|
|
1) Площадь S = l2 = > [L]2. |
|
|
|
|
|
||||||||
|
2) |
Объем Q = l3 => [L]3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
3) |
Момент силы M = F∙l => [M]∙ [L]2 ∙[T]-2. |
|
|
|
|||||||||||
|
4) |
Момент инерции I = m∙l2 => [M]∙[L]2. |
|
|
|
|
||||||||||
|
5) |
Мощность N = A / t => [M]∙[L]2∙[T]-3. |
|
|
|
|
||||||||||
|
6) |
Давление P = F / S =>[M]∙[L]-1[T]-2. |
|
|
|
|
||||||||||
|
7) |
Плотность ρ = m / V => [M]∙[L]-3 . |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
8) |
Динамическая вязкость [M ] [L] 1 |
[T ] 1. |
|
|
|
||||||||||
|
9) |
Кинематическая вязкость |
|
|
L 2 |
T 1 . |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вторая теорема основана на результатах исследований Букингема, Федермана и Афанасьевой – Эренфест. Возможность представления интеграла как функции от критериев подобия, найденных из дифференциального
35
Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts