Материал: Механика деформируемого твердого тела
Основные
определения
Твердые
тела
под
действием
приложенных
к
ним
нагрузок
изменяют
свою
форму
и
размеры
.
Если
деформация
тела
сравнительно
мала
,
то
при
снятии
внешних
сил
тело
возвращается
в
начальное
недеформированное состояние Способность тела восстанавливать
недеформированное
состояние
.
Способность
тела
восстанавливать
свою
первоначальную
форму
и
размеры
при
устранении
внешних
воздействий
называют
упругостью
,
а
снимаемые
при
этом
деформации
–
упругими
.
В
й
б
б
В
дальнейшем
будем
рассматривать
только
малые
обратимые
деформации
твердого
тела
.
Твердое
тело
называют
идеально
упругим
,
если
напряженное
состояние
в
любой
его
точке
в
произвольный
момент
деформирования
ф
й
зависит
только
от
деформации
в
этой
точке
.
Результаты
экспериментов
показывают
,
что
в
определенных
пределах
нагружения
для
большинства
твердых
тел
деформации
пропорциональны
нагрузкам
,
т
.
е
.
увеличение
нагрузки
приводит
к
р
р
ру
у
ру
р
увеличению
деформации
в
том
же
отношении
.
Эта
закономерность
известна
как
закон
Гука
.
Модуль
Юнга
.
Модуль
сдвига
На
рисунках
приведены
идеализированные
результаты наиболее легко осуществимых
результаты
наиболее
легко
осуществимых
экспериментов
по
простейшему
нагружению
образцов
–
испытанию
при
одноосном
растяжении
(
верхний
рисунок
)
и
испытанию
трубчатых
образцов
на кручение
(
нижний рисунок
)
на
кручение
(
нижний
рисунок
).
В
первом
случае
в
тонком
образце
реализуется
простейшее
напряженное
состояние
–
одноосное
растяжение
,
во
втором
–
чистый
сдвиг
.
К фф
Диаграмма
одноосного
растяжения
Коэффициент
пропорциональности
между
напряжением
и
деформацией
называют
модулем
Юнга
:
(2.1)
растяжения
σ
ε
E
E
σ
ε
=
,
а
коэффициент
пропорциональности
между
касательным
напряжением
и
сдвигом
–
модулем
сдвига
:
Вообще говоря
,
величины
и
следует считать
τ
γ
μ
E
μ
Вообще
говоря
,
величины
и
следует
считать
независимыми
.
Диаграмма
чистого
сдвига
E
μ
Коэффициент
Пуассона
Рассмотрим
процесс
деформирования
элементарного
параллелепипеда
в
системе
координат
,
совпадающей
с
главными
осями
.
На
три
его
взаимно
перпендикулярные
грани
действуют
напряжения
, , .
Пусть
напряжения
и
равны нулю тогда деформация
согласно закону Гука для случая
1
σ
2
σ
3
σ
2
σ
3
σ
1
ε
и
равны
нулю
,
тогда
деформация
,
согласно
закону
Гука
для
случая
одноосного
растяжения
,
равна
.
Испытывая
удлинение
в
первом
направлении
,
параллелепипед
будет
сжиматься
в
двух
других
направлениях
.
Безразмерный
параметр
,
характеризующий
эту
степень
сжатия
,
называют
коэффициентом Пуассона
3
σ
1
ε
1
1
E
ε
σ
= /
ν
коэффициентом
Пуассона
.
Действие
напряжения
вызовет
деформации
Здесь
-
среднее
напряжение
.
Аналогично
получаем
уравнения
для
напряжений
и
.
Эти
равенства
можно
записать
как
:
ν
1
1
2
3
1
1
1
3
E
E
E
E
E
ν
ν
ν
ν
ε
σ
σ
σ
σ
σ
+
=
−
−
=
−
,
1
2
3
(
) 3
σ
σ σ
σ
=
+
+
/
1
σ
2
σ
3
σ
р
р
(2.2)
Связь
между
модулем
сдвига
,
модулем
Юнга
и
коэффициентом
Пуассона
μ
E
ν
2
3
1
3
ij
ij
ij
E
E
ν
ν
ε
σ
σδ
+
=
−
.
имеет
вид
:
В
силу
того
,
что
величины
и
положительны
,
получим
ограничение
для
коэффициента Пуассона
2(1
)
E
μ
ν
= .
+
E
μ
1
ν
≥
коэффициента
Пуассона
Таким
образом
,
касательные
напряжения
пропорциональны
недиагональным
компонентам
тензора
деформации
:
1
ν
≥ − .
2
ij
ij
i
j
σ
με
=
, ≠ .
Модуль
объемного
сжатия
.
Параметры
Ламе
Вычислим
первый
инвариант
тензора
деформации
:
Таким образом среднее напряжение и относительное изменение объема
11
22
33
θ ε
ε
ε
=
+
+
11
22
33
11
22
33
(1
)
9
3(1 2 )
(
)
E
E
E
ν
ν
ν
ε
ε
ε
σ
σ
σ
σ
σ
+
−
+
+
=
+
+
−
=
.
Таким
образом
,
среднее
напряжение
и
относительное
изменение
объема
пропорциональны
:
Коэффициент
называют
модулем
объемного
сжатия
.
В
силу
того
,
что
величина
по
своему
физическому
смыслу
обязана
быть
неотрицательной на коэффициент Пуассона накладывается ограничение
K
σ
θ
=
.
3(1 2 )
E
K
ν
=
−
K
неотрицательной
,
на
коэффициент
Пуассона
накладывается
ограничение
сверху
:
Зависимости
(2.2)
называют
обратной
формой
закона
Гука
для
изотропной
упругой среды
1
2
ν
≤ .
упругой
среды
.
Зависимости
между
компонентами
девиаторов
тензоров
запишутся
в
виде
Тогда
2
ij
ij
σ
με
′
′
=
,
K
σ
θ
=
.
1
2 (
)
δ
θδ
θδ
′
Величина
носит
название
параметра
Ламе
.
Окончательно определяющие уравнения имеют вид
:
1
2 (
)
3
ij
ij
ij
ij
ij
ij
K
σ
σ
σδ
μ ε
θδ
θδ
=
+
=
−
+
=
2
2
(
)
3
ij
ij
K
με
μ θδ
=
+
−
.
2
3
K
λ
μ
= −
Окончательно
определяющие
уравнения
имеют
вид
:
2
ij
ij
ij
σ
λθδ
με
=
+
.
Основные
уравнения
Напряженное
состояние
характеризуется
шестью
независимыми
компонентами
симметричного
тензора
напряжений
которые должны удовлетворять трем
ij
σ
напряжений
,
которые
должны
удовлетворять
трем
дифференциальным
уравнениям
равновесия
:
(2.3)
ij
σ
0
ij
i
j
P
x
σ
∂
+
= .
∂
Компоненты
тензора
напряжений
связаны
с
компонентами
тензора
деформаций
шестью
линейными
зависимостями
:
(2 4)
j
2
σ
λθδ
με
=
+
(2.4)
Кинематическая
связь
представляется
шестью
соотношениями
,
выражающими
компоненты
тензора
деформаций
через
компоненты
вектора
перемещений
:
2
ij
ij
ij
σ
λθδ
με
=
+
.
о
о е
е ора ере еще
(2.5)
К основным уравнениям определяющим состояние линейно
-
1
(
)
2
j
i
ij
j
i
u
u
x
x
ε
∂
∂
=
+
.
∂
∂
К
основным
уравнениям
,
определяющим
состояние
линейно
-
упругого
тела
в
его
внутренних
точках
объема
,
необходимо
присоединить
граничные
условия
на
его
поверхности
.
V
S