Материал: Механика деформируемого твердого тела
Закон
сохранения
массы
р
Масса
вещества
в
произвольной
области
V
движущегося
ДТТ
в
некоторый момент времени определяется интегралом
некоторый
момент
времени
определяется
интегралом
dv
)
t
,
x
(
m
v
∫
=
ρ
ρ
где
-
плотность
массы
.
Закон
сохранения
массы
утверждает
,
что
масса
выделенной
части
среды
при
движении
остается
всегда
постоянной
,
следовательно
:
ρ
d
∂
Это уравнение называется уравнением неразрывности в
0
x
v
dt
d
k
k
=
∂
∂
+
ρ
ρ
Это
уравнение
называется
уравнением
неразрывности
в
переменных
Эйлера
.
J
0
ρ
ρ
=
Это
уравнение
является
лагранжевой
дифференциальной
формой
уравнения
неразрывности
.
Закон
сохранения
количества
движения
Компоненты
вектора
количества
движения
ДТТ
в
произвольной
области
определяют
интегралами
где
-
компоненты
скорости
.
Закон
сохранения
импульса
утверждает
,
что
скорость
изменения
количества
движения
тела
dv
v
k
v
i
i
∫
=
ρ
i
v
равна
импульсу
приложенных
к
нему
сил
.
i
j
ij
i
F
x
t
dt
dv
ρ
ρ
+
=
∂
∂
Полученные
уравнения
называются
уравнениями
движения
в
эйлеровых
переменных
.
В
линейном
случае
,
в
предположении
,
что
перемещения
и
их
производные
малы
по
сравнению
с
единицей эти уравнения имеют вид
единицей
,
эти
уравнения
имеют
вид
е
о ос
ДТТ
а а
й о е
ре е
i
0
j
ij
2
i
2
0
F
x
t
u
ρ
σ
ρ
+
=
∂
∂
∂
∂
ρ
где
-
плотность
ДТТ
в
начальный
момент
времени
,
-
линеаризованный
тензор
напряжения
, -
компоненты
вектора
перемещения
.
0
ρ
ij
σ
i
u
Закон
сохранения
момента
количества
движения
Компоненты вектора момента количества движения имеют вид
Компоненты
вектора
момента
количества
движения
имеют
вид
С
dv
v
x
M
k
j
v
ijk
i
ρ
ε
∫
=
Согласно
этому
закону
скорость
изменения
момента
количества
движения
тела
равна
моменту
приложенных
к
нему
массовых
и
поверхностных
сил
,
относительно
какой
-
либо
точки
:
0
t
Здесь
-
символы
Леви
–
Чивита
.
ijk
ε
0
t
kj
ijk
=
ε
Закон
сохранения
момента
количества
движения
ДТТ
эквивалентен
условию
симметричности
тензора
напряжений
Коши
Коши
ji
ij
t
t
=
Закон
сохранения
механической
энергии
Если
рассматривать
только
механические
величины
,
то
этот
за о
е с с е с
е за о а со ра е
о
ес а
закон
является
следствием
закона
сохранения
количества
движения
.
Кинетическая
энергия
тела
имеет
вид
Согласно этому закону скорость изменения со временем
dv
v
v
K
i
v
i
2
1
∫
=
ρ
Согласно
этому
закону
скорость
изменения
со
временем
кинетической
энергии
плюс
внутренней
механической
энергии
равна
механической
работе
внешних
сил
,
совершаемой
в
единицу времени
.
Интегральная формулировка этого закона
единицу
времени
.
Интегральная
формулировка
этого
закона
имеет
вид
dv
v
F
ds
n
t
v
dv
t
v
dt
dK
v
i
i
s
j
ji
i
v
ji
ij
∫
+
∫
∫
+
=
ρ
Здесь
К
-
кинетическая
энергия
объема
V
деформируемого
тела
,
второй
интеграл
слева
учитывает
мощность
внутренних
механических
сил
,
а
интегралы
справа
учитывают
мощность
й
внешних
поверхностных
и
массовых
сил
. -
тензор
скоростей
деформаций
, -
тензор
напряжений
Коши
, -
плотность
массовых
сил
.
ij
v
ij
t
i
F
ρ
Первый
закон
термодинамики
Если
,
кроме
механической
,
будем
учитывать
и
тепловую
энергию
,
то
получим
сформулированный
ниже
закон
б
б
сохранения
энергии
в
более
общем
виде
.
Согласно
первому
закону
термодинамики
скорость
изменения
со
временем
кинетической
плюс
внутренней
энергии
равна
сумме
механической
работы
внешних
сил
и
притока
тепла
в
единицу
времени
.
Внутреннюю
энергию
ДТТ
представим
в
виде
где
u
называется
удельной
внутренней
энергией
.
Для произвольной области
имеем локальную форму записи
∫
=
v
udv
U
ρ
V
Для
произвольной
области
имеем
локальную
форму
записи
первого
закона
термодинамики
i
ij
ij
c
1
v
t
1
d
du
∂
∂
−
=
V
где
вектор
характеризует
поток
тепла
через
единицу
площади
в
единицу
времени
.
i
c
i
ij
ij
x
v
t
dt
∂
ρ
ρ