Материал: Нестационарные аэродинамические силы и аэроупругие колебания самолета. Пентюхов В.И., Будник А.П

Это можно сделать, если воспользоваться например, методом разделения переменных.

В соответствии с этим методом точные решения уравнений типа (2.13) заменяются их приближенными разложениями в ряд по формам, соответствующим собственным упругим колебаниям в пустоте [8, 9, 18].

Для конструкций, не создающих аэродинамических сил, такое допущение вполне приемлемо.

Однако при рассмотрении упругих колебаний сверхзвукового самолета это допущение, как отмечено выше, является довольно грубым.

Таким образом, при применении принципа разделения переменных к уравнениям (2.13) точные решения этих уравнений необходимо заменять их приближенными разложениями в ряд по формам, соответствующим аэроупругим деформациям сверхзвукового самолета как балки. Т.е. деформациям, определяемым о учетом аэродинамических сил, вызванных деформациями, а не по формам, соответствующим собственным колебаниям балки в пустоте, как это делается в настоящее время.

Если пренебречь нестационарным характером обтекания сверхзвукового самолета в возмущенном движении, т.е. исходить, как это сейчас и делается при исследовании возмущенного движения самолетов. из гипотезы стационарности [38], то уравнения (2.13)- (2.16) можно упростить и представить в виде

46

Из сравнения уравнений (2.13)-(2.16) и уравнения (2.17) видно, что применение гипотезы стационарности существенно упрощает математическое описание вынужденных колебания.

Это и объясняет широкое распространение гипотезы стационарности, хотя она и дает весьма приблизительное описание реальных процессов.

2.2. Собственные аэроупругие колебания

Из (2.14) и (2.17) следует, что система уравнений,, описывающая собственные аэроупругие колебания сверхзвукового самолета как балки, т.е. собственные колебания сверхзвукового самолета как балки в воздушной среде, имеет вид:

Так как уравнения (2.18) и (2.19) являются дифференциальными уравнениями в частных производных, то их решение должно удовлетворять как начальным, так и граничным условиям.

Начальные условия определяются характером возмущений, действовавших до начального момента времени на сверхзвуковой самолет.

Граничные условия вытекают из рассмотрения сверхзвукового самолета как свободной продольной балки, у которой изгибающий момент и перерезывающая сила в. концевых сечениях равны нулю.

47

Таким образом, решение уравнений (2.18) и (2.19) нужно искать при следующих граничных условиях

Mz x, t Q x, t 0, x 0 x

(2.20)

где l - длина сверхзвуковcого самолета как свободной балки.

С учетом (2.3) граничные условия (2.20) принимают вид

Решения уравнения (2.18) и (2.19) будем искать в виде следующих рядов:

колебаний сверхзвукового самолета как балки

48

Yxn x- функции, описывающие распределение по

длине сверхзвукового самолета как балки приращений подъемной силы, вызванных соответствующими формами его аэроупругих колебаний;

Ytn x - функции, описывающие нестационарный

характер приращений подъемной силы, вызванных аэроупругими колебаниями сверхзвукового самолета как балки

:

Подставляя равенства (2.24) в уравнение (2.19), получим следующие соотношения:

x определяет стационарное приращение подъемной силы в сечении за счет изгиба.

Величина Yxn x согласно определению, также

определяет приращение подъемной силы в сечении за счет изгиба.

Таким образом, можно записать, что

С учетом (2.9) равенство (2.8) принимает вид:

49

Из соотношений (2.25) легко получаются следующие n пар уравнений, связывающих приращения составляющих нестационарной подъемной силы, вызванной аэроупругими колебаниями, с формами и обобщенными координатами аэроупругих колебаний

Из (2.29) следует, что нестационарный характер обтекания самолета не сказывается на распределении по длине сверхзвукового самолета приращений составляющих подъемной силы, вызванных соответствующими формами аэроупругих колебаний сверхзвукового самолета.

Равенства (2.23) (2.24) можно , как и в случае стационарных колебаний, представить в виде :

соответствующих форм.

Подставляя соотношения (2.30), (2.31) в уравнение (2.1) и принимая во внимание соотношение (2.29), получим

50