Материал: Нестационарные аэродинамические силы и аэроупругие колебания самолета. Пентюхов В.И., Будник А.П

следующие дифференциальные уравнения, описывающие формы собственных аэроупругих колебаний сверхзвукового самолета:

n 1,2,3...

(2.32)

Сучетом соотношений (2.30) граничные условия (2.21)

и(2.22) принимают вид:

Полученные уравнения для определения форм и частот собственных аэроупругих колебаний сверхзвукового самолета как балки, в отличие от уравнений, описывающих упругие колебания балки в пустоте, содержат составляющие приращений аэродинамической силы, вызванные аэроупругими колебаниями. Таким образом, они описывают изгибные формы сверхзвукового самолета, возникающие от действия как инерционных, так и аэродинамических сил, вызванных изгибом сверхзвукового самолета как балки.

2.4. Свойства форм и частот собственных аэроупругих колебаний самолетов

Рассмотрим некоторые свойства решений уравнений

51

Уравнение (2.35) определяет формы и частоты собственных аэроупругих колебаний сверхзвукового самолета как балки в пустоте.

решения, выражаемые через функции Крылова [2].

Для неоднородной балки решения уравнений (2.35) может быть получено численными методами [38, 39].

Свойства решений уравнения (2.35) достаточно полно исследованы [11, 19]. В частности, доказано, что существует бесконечное множество различных частот собственных колебаний балки в пустоте.

Для свободней балки, которой в данной работе моделируются упругие свойства сверхзвукового самолета, среди бесконечного множества различных частот имеются две нулевые частоты, характеризующие движение свободной балки как твердого тела.

Действительно, интегрируя уравнение (2.35) с учетом

функции, описывающие формы собственных колебаний свободной балки в пустоте, имеют (с точностью до постоянных множителей) вид:

где Хм - координата центра масс сверхзвукового самолета как балки.

52

сверхзвукового самолета (свободной балки) как твердого тела, а функция yx 02 x xM xM характеризует

вращательное .движение сверхзвукового самолета (свободной балки) как твердого тела вокруг центра масс.

Собственные частоты n n 1,2,3... определяют

формы собственных колебаний сверхзвукового самолета (свободной балки) как упругого тела.

Все собственные частота сверхзвукового самолета как свободной балки, колеблющиеся в пустоте, являются различными действительными положительными числами, т.е.

определенная форма собственных колебаний yxn x .

Все формы собственных колебаний балки в пустоте ортогональны между собой с весовой функцией m x .

Это свойство форм собственных колебаний балки в пустоте следует непосредственно из уравнения (2.35) и граничных условий (2.33), (2.34). Действительно, умножив

53

соответствующую собственной частоте n , и проинтегрируем

по длине балки.

В результате получим уравнение

проинтегрируем по длине балки. В результате получим уравнение .

Вычтем из уравнения (2.38) уравнение (2.39). В результате, учитывая (2.37), получим, что

54

Равенство (2.41) и является условием ортогональности форм собственных колебаний балки в пустоте.

Физический смысл условий ортогональности, выражаемых равенством (2.41), состоит в том, что работа сил инерции, возникающих при колебаниях, соответствующих одной собственной частоте, равна нулю на перемещениях, соответствующих другим собственным частотам.

Граничные условия (2.33), (2.34) можно представить в

виде:

Проинтегрировав уравнение (4.35) по длине балки и учитывая равенство (2.42), получим, что

55