Материал: Нестационарные аэродинамические силы и аэроупругие колебания самолета. Пентюхов В.И., Будник А.П
m x yx |
x dx 0 |
(2.44) |
|
0 |
|
|
|
n 1,2,3... |
|
|
|
Умножив |
уравнение (2.35) на |
x xM |
и |
проинтегрировав его по длине балки, с учетом равенства (2.43),получим, что
m x x xM yxn x dx 0 |
(2.45) |
0 |
|
n 1,2,3...
Из равенств (2.44) и (2.45) следует, что при собственных колебаниях балки в пустоте равнодействующая сил инерции и суммарный момент этих сил относительно центра масс равны нулю.
Таким образом, собственные формы колебаний балки в пустоте не вызывают ни смещения центра масс балки, из поворота балки вокруг центра масс, т.е. являются самоуравновешенными.
Иная картина наблюдается пря аэроупругих колебаниях сверхзвукового самолета как балки, т.е. при колебаниях а
воздушной среде, когда Yc x
0 .
В этом случае формы и частоты собственных аэроупругих колебаний сверхзвукового самолета как свободной балки определяются уравнением (2.32), свойства решения которого не исследованы.
Уравнение (2.32), как дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами, не имеет аналитических решений даже в случае однородной балки, что затрудняет анализ общих свойств их решений.
56
Однако из уравнения (2.32) и граничных условий (2.33)- (2.34) следует, что формы собственных колебаний
сверхзвукового |
как |
свободной |
балки |
являются |
неортогональными. |
|
|
|
|
Действительно, записав уравнение (2.32) для |
||||
собственной частоты |
n , умножив его на форму собственных |
|||
колебаний соответствующую частоте |
m |
и проинтегрировав |
|
|
|
ее по длине балки, получим |
|
|
EJz x yx n |
x yx m |
x dx Y x yx n x yx m x dx |
0 |
|
0 |
|
|
(2.46) |
2n m x yx n x yx m x 0
0
n; m 1,2,3... n m
Далее, записав уравнение (2.32) для собственной частоты m , умножив его на форму собственных колебаний,
соответствующую собственной частоте n ,и проинтегрировав по длине балки, получим
EJz x yx n |
x yx m |
x dx Y x yx n x yx m x dx |
0 |
|
0 |
2n m x yx m x yx n x dx 0
0
n; m 1,2,3... n m
(2.47)
57
Y x yx n x yx m x yx m x yx x dx |
|
0 |
|
m x yx n x yx m x dx |
|
0 |
|
n; m 1,2,3... |
n m |
|
(2.48) |
2 |
2 |
n |
m |
Из (2.48) следует, что работа сил инерции, возникающих при колебаниях, соответствующих одной собственной частоте, на перемещениях, соответствующих другим собственным частотам, нулю не равна, а равна работе аэродинамических сил, вызванных собственными колебаниями.
Таким образом, равенство (2.46) является условием не ортогональности форм собственных аэроупругих колебаний сверхзвукового самолета как свободной балки.
Проинтегрировав уравнение (4,32) по длине балки, с учетом граничного условия (2.42)получим: что
Y |
x yxn x dx |
n2 m x yxn x dx (2.49) |
0 |
|
0 |
n |
1,2,3... |
|
Из (2.49) следует, что силы инерции, возникающие при собственных аэроупругих колебаниях сверхзвукового самолета как свободной балки, являются неуравновешенными.
Они уравновешиваются распределенной аэродинамической нагрузкой, вызванной упругими колебаниями сверхзвукового самолета как свободной балки.
Умножив уравнение (2.32) на x xM и
проинтегрировав его по длине балки с учетом граничного условия (2.49), получим
58
Y x x xM yxn x dx |
n2 m x x xM yxn x dx |
0 |
0 |
n 1,2,3...
(2.50)
Из (4 50) следует, что момент сил инерции, возникающих при собственных аэроупругих колебаниях сверхзвукового самолета как свободной балки, также является не самоуравновешенным. Он уравновешивается моментом аэродинамических сил, вызванных упругими колебаниями сверхзвукового самолета как свободной балки.
Из не самоуравновешенной функции yxn x ,
определяющей форму собственных колебаний сверхзвукового самолета как свободной балки, соответствующую собственной
частоте |
n , выделим линейную функцию таким образом, |
||
чтобы |
оставшаяся |
функция |
yxn x была |
самоуравновешенной формой,, характеризующей аэроупругие колебания сверхзвукового самолета как свободной балки.
|
Для этого функцию yxn x представим в виде : |
||||||
yxn |
x ym |
y2n |
x |
x M |
yxn |
x |
|
|
x M |
(2.51) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
1,2,3... |
|
|
|
|
|
|
|
m x yxn |
x dx |
0 |
|
|
(2.52) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
59
m x yxn x |
x |
xM dx |
0 |
(2.53) |
||
0 |
|
|
|
|
|
|
n 1,2,3... |
|
|
|
|
|
|
Для |
определения |
значения |
ym подставим (2.51) в |
|||
(2.49). В результате, учитывая (2.52), получим : |
|
|||||
Y |
x yxn |
x dx |
2 |
|
|
|
n My1n |
(2.54) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
где М - масса сверхзвукового самолета.
Из (2.54) следует, что
|
0 |
Y x yxn x dx |
||
y1n |
|
(2.55) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 M |
|
Для определения значения ym подставим (2.51) в |
||||
(2.50). |
|
|
|
|
|
В результате, учитывая (2.53), получим |
|||
Y x x x M yxn x dx 
2n Jm y2n
0
(2.56)
60