Материал: Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями к задачам механики, физики, термодинамики и экологии. Ряжских В.И., Бырдин А.П

T(t) Ce t Tc.

Для нахождения значения параметра C используем начальное условие T(0) T0. Имеем:

приближается к Tc , что физически очевидно.

З а д а ч а о т е м п е р а т у р е ц и л и н д р и ч е к о й к а т у ш к и с т о к о м

Пусть через цилиндрическую катушку, изготовленную из медной проволоки, протекает электрический ток. При этом, как известно из курса физики, в проводнике выделяется тепло Джоуля-Ленца. Получим формулу временной зависимости температуры цилиндра T(t), учитывающую теплообмен с окружающей средой.

Введем обозначения: s - площадь поверхности катушки; V - объем катушки; - удельный вес меди; c - ее удельная теплоемкость; k - коэффициент теплопроводности; T0 - температура среды, в которую помещена катушка с током; q - количество теплоты, выделяемой в единицу времени током в проводнике (тепло Джоуля-Ленца).

Количество теплоты, выделяющееся за время t, будет равно Q q t. Эту величину можно записать исходя из соотношения баланса в виде суммы

Q Q1 Q2,

где Q1 - тепло, расходуемое на повышение температуры проводника T , Q2 - тепло, расходуемое на повышение температуры среды (уходящее тепло). Из курса физики известно:

Q1 cV T , Q2 ks(T T0) t ,

где T - температура проводника.

Теперь уравнение баланса можно записать в виде: q t cV T ks(T T0) t

или

q cV T ks(T T0).

t

65

дифференциальное уравнение, моделирующее описанный процесс, в виде:

интегрирования: C 1 ln .

Поэтому

Отсюда, раскрывая модуль в правой части равенства, найдем функцию

T(t):

Для конкретизации полученной зависимости необходимо задать объем и площадь поверхности цилиндра, длину проводника и силу тока в проводнике (для формулы Джоуля-Ленца). Остальные величины можно найти в справочнике по физике.

З а д а ч а г и д р а в л и к и о т е ч е н и и ж и д к о с т и в т р у б е Пусть в прямолинейной цилиндрической трубе радиуса R течет

жидкость. Предположим, что в результате трения жидкости о стенки трубы скорость каждого цилиндрического слоя жидкости уменьшается при увеличении расстояния слоя от оси цилиндра. Задача заключается в определении скорости слоя v как функции расстояния r до оси цилиндра.

Из гидравлики известно, что зависимость между скоростью и расстоянием слоя до оси выражается уравнением

увеличением r скорость течения уменьшается. Начальное условие означает прилипание жидкости к стенкам трубы в силу вязкости жидкости.

Разделяя переменные и интегрируя, имеем:

C i R2. Таким образом, полученная зависимость скорости слоев жидкости

4E

от расстояния до оси трубы имеет вид:

v(r) i (R2 r2). 4E

Вопросы для самоконтроля

1.Дайте определения дифференциального уравнения первого порядка, его общего и частного решений, общего и частного интеграла. Сформулируйте задачу Коши для дифференциального уравнения первого порядка, укажите ее геометрический и механический смысл.

2.Дайте геометрическую интерпретацию дифференциального уравнения первого порядка. Укажите геометрический смысл общего и частного решения.

3.Дайте определение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными. Изложите метод построения его общего решения. Приведите пример.

4.Дайте определение однородного дифференциального уравнения первого порядка. Изложите метод нахождения его общего решения. Приведите пример.

5.Дайте определение линейного дифференциального уравнения первого порядка. Изложите метод нахождения его общего решения. Приведите пример

6.Дайте определение уравнения Бернулли. Изложите метод нахождения его общего решения. Приведите пример.

7.Дайте определение дифференциального уравнения в полных дифференциалах. Изложите метод нахождения его общего решения. Приведите пример. Как вводится понятие интегрирующего множителя уравнения?

8.Какое решение дифференциального уравнения называется особым решением?

11.xy(1 x2)y 1 y2. Ответ: (1 y2)(1 x2) Cx2.

12.ey(1 x2)dy 2x(1 ey)dx 0. Ответ: 1 ey C(1 x2).