Документ: Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями к задачам механики, физики, термодинамики и экологии. Ряжских В.И., Бырдин А.П, страницы 71-75

45.y 1 2x y 1.

x2

46.y y cos x.

47.y cos x ysin x sin 2x.

48.xy y ln x 1.

49.y 2y e x2 .

xx

50.y ytg x ctg x.

51.y ycosx sin 2x.

52.xy 2y x2.

Ответ:

y Cx2e1/ x x2.

y Ce

x

1

(cosx sin x).

Ответ:

2

Ответ:

y

C cos2x

.

2cosx

Ответ:

y ln x

C

.

x

y

C e x2

Ответ:

.

2x2

lnC tg

x

Ответ:

y 1

2

.

cosx

Ответ:

y 2(sin x 1) Ce sinx.

Ответ:

y

x

2

C

.

4

x2

53.y 2 y ex (x 2). Ответ: y Cx2 ex.

xx

54.(2x 1)y 4x 2. Ответ: y (2x 1)(C ln2x 1) 1.

55.

(xy ex )dx x xdy .

Ответ: y ex(ln

x

C),

x 0.

56.

(xy 1)ln x 2y .

Ответ: y Cln2

x

lnx.

57.

(2e y x)y 1.

Ответ: x ey Ce y.

58.

(sin 2 y xctg y)y 1.

Ответ: x (C cos y)sin y.

y

ex

Ответ: y

2 e ex

59.

,

y(1) 2.

.

x

y

sin x

. Ответ: y

cosx

60.

y

, y

0

.

x

2

x

61.

y

2y y2ex .

Ответ: y(ex Ce2x) 1,

y 0.

2

1

62.

.

Ответ: y

.

y x y xy

xlnCx

70

63.y xy y3e x2 .

64.y y xy3.

65.y x3y3 xy.

66.x2y y2 xy.

67.xy y y2 ln x.

68.y xy xy3.

69.xy 2y x5y2.

Ответ: y2 ex2 . 2x C

1

Ответ: y . x 1/2 Ce2x

Ответ:	y		1					.

			Cex2
			Cex2		x2 1
Ответ:	y			x	.
Ответ:	y	C ln x			.
		C ln x
Ответ:	y		1				.
Ответ:	y						.
		ln x 1 Cx
Ответ:	y2			1		.
Ответ:	y2		1 Cex2			.
			1 Cex2

1

Ответ: y 1/3x5 Cx2 .

70.

x(2 9xy2)dx y(4y2

6x3)dy 0. Ответ: x2 3x3y2 y4 C.

71.

y

dx (y3 ln x)dy 0.

Ответ: y(4lnx y3) C.

x

72.

3x2 y2

dx

2x3 5y

dy 0.

Ответ: x3 xy2 5y Cy2.

y2

y3

73.

(1 y2 sin2x)dx 2y2 cos2 xdy 0. Ответ: x y2 cos2 x C.

74.

(x2 y2 x)dx ydy

0.

Ответ: 2x ln(x2 y2) C.

75.

(x2 y2

y)dx xdy

0.

Ответ: x arctg

x

C.

y

76.

xy2(xy y) 1.

Ответ: 2x3y3 3x2 C.

2

7

1

77.

(2xy

3y

)dx (7 3xy

)dy 0.

Ответ: x

3xy C,

.

y

y2

78.

(3y2 x)dx (2y2 6xy)dy 0.

Ответ: (x y2)2 C x y2,

1

.

2 3

(x y )

71

3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ. ПРОСТЕЙШИЕ УРАВНЕНИЯ

n–го ПОРЯДКА

3.1. Дифференциальные уравнения n– го порядка.

Основные понятия

1. Дифференциальным уравнением n–го порядка называется соотношение, связывающее независимое переменное, его функцию и производные до n–го порядка включительно:

F			(n)	) 0.			(3.1)
	(x,y,y ,y , ,y
Будем предполагать функцию F такой, что уравнение (3.1) разрешимо
относительно старшей производной:
y	(n)				(n 1)	).	(3.2)
		f (x,y,y , ,y

Функция F или f может не зависеть от некоторых из аргументов

x, y, y , , y(n 1), но в любом случае уравнение n – го порядка должно

содержать производную y(n).

Если, в частности, функция F является линейной функцией аргументов y, y ,y , ,y(n), то уравнение (3.1) будет содержать искомую функцию и ее производные только в первой степени и не содержать их произведений. В этом случае уравнение (3.1) принимает вид:

y(n) p1(x)y(n 1) pn 1(x)y pn(x)y f (x).	(3.3)
Уравнение такого вида называется линейным уравнением; если при этом
f (x) 0, то его называют линейным однородным уравнением: если	f (x) 0,

то называют линейным неоднородным уравнением.

Всякая функция y y(x), определенная на (a,b) и n раз непрерывно дифференцируемая на этом интервале, называется решением уравнения (3.1) в этом интервале, если она обращает это уравнение в тождество:

F(x,y(x),y (x), ,y(n)(x)) 0,

справедливое при всех x из интервала (a,b).

Среди дифференциальных уравнений высших порядков простыми для изучения являются уравнения 2-го порядка

		(3.4)
F(x, y, y , y	) 0,	(3.4)

или в виде, разрешенном относительно старшей производной,

y

f (x, y, y ).

(3.5)

Такие уравнения допускают простое механическое и геометрическое истолкование. Рассмотрим прямолинейное движение материальной точки M

72

по оси OX . Тогда x,

dx

,

d2x

выражают положение,

скорость и ускорение

dt

dt2

точки M в

момент времени

t

(рис. 9).

Считая, что действующая на

dx

материальную точку сила есть функция

f

t,x,

, зависящая от времени,

dt

положения точки и ее скорости,

а масса

m 1,

согласно второму

закону

Ньютона, получим дифференциальное уравнение второго порядка

d2x

dx

f t,x,

,

(3.6)

dt2

dt

x x(t).

определяющее

закон

движения

точки

Основной

задачей

интегрирования уравнения (3.6) является нахождение всех движений x(t), определяемых этим уравнением, и изучение их свойств.

x

O

M(t) x

Рис. 9

В механике наиболее полно эта задача изучена в случае, когда сила f является линейной функцией от положения точки и ее скорости. В этом случае уравнением движения является линейное уравнение второго порядка:

	d	2x		dx
			p(t)		q(t)x f (t).

	dt2			dt
Если коэффициенты		p(t) и q(t) являются постоянными, то решение

этого уравнения можно найти в квадратурах, а при некоторых функциях f (t) - даже в элементарных функциях.

Рассмотрим геометрическое истолкование дифференциального уравнения второго порядка. Как нам уже известно, дифференциальное уравнение первого порядка задает общее свойство семейства касательных всех его интегральных кривых. Из математического анализа известно, что кривизна кривой y y(x) в каждой ее точке вычисляется по формуле

K	y		.	(3.7)
	2	3 2
	1 (y )

Всякое уравнение второго порядка (3.3) можно переписать в виде

73

			3 2	y
		2	3 2	y
F		2					0,
F	x,y,y , 1 y			1 y	2	3 2	0,
					2	3 2

или

	y
	y			0.	(3.8)

F1 x,y,y ,	1 y	2	3 2
		2	3 2

Учитывая геометрический

смысл

производной y tg , где угол,

который образует касательная к кривой

y y(x) с осью OX , выразим вторую

производную через кривизну посредством формулы (3.7). Получим:

3 2

K

y

K 1 y

2

K 1 tg

2

cos3 .

Подставив выражения

y

и

y

через и

K , уравнение (3.8) можно

переписать в виде

F2(x,y, ,K) 0.

(3.9)

Итак, с геометрической

точки

зрения

дифференциальное уравнение

второго порядка выражает зависимость между координатами точки M(x, y) кривой y y(x), направлением касательной и кривизной в этой точке. Поэтому интегральные кривые уравнения 2-го порядка в каждой своей точке имеют заданное этим уравнением соотношение между направлением этой кривой и ее кривизной.

Если задать координаты точки M0(x0, y0), принадлежащей интегральной кривой и угловой коэффициент касательной в этой точке (т.е. направление кривой) то, по уравнению (3.9), определится и кривизна интегральной кривой в этой точке. Таким образом, начальные условия вида

y(x0) y0, y (x0) y0 (3.10)

позволяют выделить из семейства интегральных кривых, задаваемого уравнением (3.3), определенную кривую.

Поскольку при данном x задание двух величин y и y определяет интегральную кривую уравнения (3.3), то можно ожидать, что общее решение дифференциального уравнения 2-го порядка будет зависеть от двух произвольных постоянных

y (x,C1,C2).

(3.11)

Это соображение можно подкрепить таким не вполне строгим рассуждением. Если исключить из (3.11) параметры C1 и C2 для того, чтобы получить общие свойства функции в (3.11), придется это соотношение дважды продифференцировать по x:

y (x,C1,C2),	y			y
y (x,C1,C2),	y		(x,C1,C2),	y		(x,C1,C2),

74

Материал: Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями к задачам механики, физики, термодинамики и экологии. Ряжских В.И., Бырдин А.П

Смотрите также: