Документ: Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями к задачам механики, физики, термодинамики и экологии. Ряжских В.И., Бырдин А.П, страницы 76-80

Материал: Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями к задачам механики, физики, термодинамики и экологии. Ряжских В.И., Бырдин А.П

Смотрите также:

где штрихи у	функции означают производные по	x. Исключение
параметров C1	и C2 из этой системы приведет нас к дифференциальному
уравнению, для которого (3.11) является решением.
Пример.	Найти дифференциальное уравнение всех прямых на
плоскости XOY , не параллельных оси OY .
Решение.	Как известно из геометрии, уравнение этого семейства
зависит от двух параметров:
	y ax b.
Продифференцируем это уравнение дважды: y a;		y 0. Видим, что

в последнем равенстве параметры a и b автоматически исключены. Таким образом, уравнение y 0 представляет общее свойство линий y ax b, состоящее в том, что кривизна (см. формулу (3.7)) этих линий в каждой точке равна нулю.

Обратно, интегрируя это дифференциальное уравнение 2-го порядка,

Получено то же семейство прямых с переобозначенными параметрами. Если потребовать, чтобы искомая линия, проходила через точку (x0, y0) и имела в этой точке угловой коэффициент y k , то получим начальную задачу:

y 0,		y(x0) y0,			y (x0) k.
Из решения дифференциального уравнения							y C1x C2	и производной
y C1 найдем значения постоянных интегрирования C1 и C2:
C1 k ,	y0 C1x0 C2;				C2 y0 kx0.
Искомое частное решение получено:					y kx (y0 kx0).
2. Рассмотри постановку задачи Коши для уравнения n -го порядка. В
п.1 этого параграфа была рассмотрена							начальная	задача для
дифференциального уравнения 2-го порядка
				или	y
F(x, y, y , y			) 0,			f (x, y, y ),		(3.12)
		,	y (x0) y0,
y(x0) y0

где x0, y0, y0 - заданные числа. Поставленная задача о нахождении решения дифференциального уравнении, удовлетворяющего заданным начальным условиям называется задачей Коши для дифференциального уравнения 2-го порядка.

Перейдем теперь к общему случаю уравнения n–го порядка. Поскольку дальнейшем будем рассматривать уравнения, разрешенные относительно старшей производной (т.е. уравнения вида (3.2)), то и понятие задачи Коши сформулируем для такого уравнения.

Задачи Коши для уравнения вида (3.2) ставится следующим образом.

75

Среди всех решений уравнения

	y	(n)		(n 1)		)		(3.13)
			f (x, y, y , , y
найти	решение y y(x),	в котором функция			y(x)		вместе с производными
y (x),	y (x), , y(n 1)(x) принимает заданные значения						y0 , y0, y0, , y0(n 1) при
заданном значении x x0 , то есть
	y(x0) y0,	y (x0) y0, , y(n 1)(x0) y0(n 1),						(3.14)
где x0, y0, y0, , y0(n 1) -		заданные числа (начальные данные),						так что
решение y y(x) удовлетворяет условиям
	y y0,		y y0, , y(n 1) y0(n 1)

при x x0 , которые называют начальными условиями этого решения.

Заданные числа y0 , y0, y0, , y0(n 1) - называют начальными значениями

решения y y(x), число x0 - начальным значением независимой переменной.

Пример.

Найти решение уравнения,

удовлетворяющее начальным

условиям

2

,

y 3x

y(0) 1,

y

(0) 0.

Решение.

Представим y

dy

и умножим обе части уравнения на dx.

dx

Интегрируя, получим:

2

3

dy

3 x

dx,

y

x

C1.

Отсюда:

dy (x3 C )dx,

y

x4

C x C

2

.

1

4

1

Находим постоянные из системы уравнений

4

y(0)

x

C x C

2

1,

C

2

1;

4

1

x 0

3

C1)

x 0

0,

C1 0.

y (0) (x

Решение задачи Коши имеет вид: y x4 1. 4

3. Введем понятие о граничной (краевой) задаче.

Многие задачи физики, баллистики и других естественных и технических наук приводят к решению граничных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. Сформулированная в п. 2 задача Коши является лишь одной из важных задач теории дифференциальных уравнений, в

76

которых ищется решение, удовлетворяющее заданным условиям. В краевых задачах условия, налагаемые на искомое решение, задаются не в одной точке (как в задаче Коши), а на концах заданного интервала [a,b]. Решение в этом случае ищется внутри интервала, на концах которого оно обязано удовлетворять определенным условиям.

В случае дифференциального уравнения первого порядка граничные задачи, вообще говоря, ставятся не так, так как в этом случае задание значения искомого решения в одной точке (при определенных условиях, сформулированных ранее) уже определяют единственную интегральную кривую. Таким образом, граничные задачи могут ставиться только для уравнений второго и более высокого порядка.

Граничные задачи не всегда имеют решение, а если решение и существует, то, весьма часто, не единственное.

Пример. Найти решение краевой задачи: y 6x, y (0) 0, y(1) 1. Решение. Интегрируя дифференциальное уравнение, получаем:

y 3x2 C1, y x3 C1x C2.

Подставим граничные условия при x 0 и x 1, имеем:

2

C1)

x 0

0,

C1 0;

y (0) (3x

y(1) (x3

C x C

2

)

1,

C

2

0.

1

x 1

Искомое решение краевой задачи получается подстановкой в функцию

y(x) найденных значений постоянных:

y x3.

Пример. Покажем,

что

для

уравнения:

y y ,

не

существует

решения, удовлетворяющего краевым условиям: y(0) 1, y( ) 2.

Решение. Известно, что все решения указанного дифференциального

уравнения содержатся в формуле y C1cosx C2 sin x, где

C1

и C2 -

произвольные постоянные. Наша задача заключается в таком выборе этих

параметров, чтобы функция		y(x)		удовлетворяла заданным граничным
условиям. Имеем:
при x 0:	C1 1 C2 0 1,		C1	1;
при x :	C1 ( 1) C2	0	2,	C1 2, C2 - любое.
Поскольку	записанная выше функция включает все решения уравнения,

то поставленная краевая задача не имеет решения, ибо мы получили


противоречивую систему уравнений для нахождения параметров C1 и			C2.
Однако для этого же дифференциального уравнения краевая			задача
y(0) 1,	y( ) 1 имеет бесконечное множество решений. Действительно, в
этом случае система уравнений для определения параметров имеет вид:
при x 0: C1 C2 0 1,		C1 1, C2 - любое;

77

при x :

C1 ( 1) C2 0 1,

C1 1, C2 - любое.

Все решения этой краевой задачи дает формула: y cosx C2 sin x.

Задачи для самостоятельного решения

Найти дифференциальные уравнения следующих семейств кривых:

1.	парабол y ax2 bx c.	Ответ: y 0.
2.	окружностей (x a)2 (y b)2	1. Ответ: y (1 y 2)3 2.
3.	синусоид y Asin(x ).	Ответ: y y 0.

Убедится, что следующие функции удовлетворяют соответствующим дифференциальным уравнениям:

4.y C1eC2x,

5.y C1 C2, x

6.y C1(x C2)23,

yy (y )2.

xy 2y 0.

(y )2 2yy 0.

Из решений предшествующих задач выделить частные решения со следующими начальными условиями:

7.	x0	1,	y0 1,		y0		1	.	Ответ:	y ex			3	.

						3					1

8.	x0	1,	y0 0,		y0	1.			Ответ:	y		1.

											x
9.	x0	0,	y0 3,		y0	2.			Ответ:	y 3(x 1)2 3.
10.	Найти решение задачи Коши:
			y	y 0,	y(0) 1,
									y (0) 0. (см. пример в п. 3).

3.2. Достаточные условия существования и единственности решения задачи Коши. Общее частное решение

1. Для дифференциального уравнения n-го порядка также доказана теорема существования и единственности решения задачи Коши. Здесь не приводится доказательство этой теоремы, а лишь формулируются достаточные условия существования и единственности решения начальной задачи в упрощенной форме для уравнения, разрешенного относительно старшей производной.

Теорема (Пикара). Пусть дано уравнение

y	(n)		(n 1)	)	(3.15)
		f (x, y, y , , y

и заданы начальные условия

y y0, y y0, , y(n 1) y0(n 1) при x x0 .

78

Пусть функция

(n 1)

) определена в некоторой замкнутой

f (x, y, y , , y

ограниченной области n- мерного пространстваD

x x0

a,

y y0

b,

y y0

b, ,

y(n 1) y0(n 1)

b,

(a и b- заданные положительные числа) с точкой M0(x0, y0, y0

, , y0(n 1)),

лежащей внутри этой области и удовлетворяет в D двум условиям:

1)

y

(n 1)

)

непрерывна по всем аргументам и,

функция f (x, y, y , ,

следовательно, ограничена, т.е. существует число M 0 такое, что для всех

(n 1)

) D

выполняется

точек M(x, y, y , , y

f (x, y, y

(n 1)

)

M0;

, , y

2)

функция

(n 1)

)

имеет

ограниченные частные

f (x, y, y , , y

производные по аргументам

y, y

, y

(n 1)

, т.е.

существует число

K 0

,

(n 1)

) D выполняется

такое, что для всех M(x, y, y , , y

(n 1)

)

f (x, y, y

, , y

K,

(m 0,1, ,n 1).

y(m)

При этих условиях дифференциальное уравнение имеет единственное

решение

y y(x), удовлетворяющее

заданным начальным условиям.

Это

решение определено и непрерывно вместе с производными до n-

го порядка

включительно в интервале

x x0

h,

где

b

h min a,

.

max K0

,

y

, ,

y(n 1)

D

(n 1)

Из теоремы, в частности,

следует,

что если функция f (x, y, y

)

, , y

является многочленом от своих аргументов,

то при любых начальных данных

существует единственное решение уравнения с этими начальными данными.

2. Общее, частное и особое решение.

Соображения,

приведенные

в

п.1, п.п. 3.1

для дифференциального

уравнения 2-го порядка, связанные с исключением параметров C1 и C2, позволяют и дифференциальное уравнение (3.15) или (3.1) рассматривать как результат исключения n произвольных постоянных из уравнения семейства функций

y (x,C1,C2, ,Cn)

(3.16)

79

(C1,C2 ( , )).