Документ: Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями к задачам механики, физики, термодинамики и экологии. Ряжских В.И., Бырдин А.П, страницы 81-85

путем n кратного дифференцирования уравнения (3.16) с последующим исключением параметров из полученной системы n 1 уравнений.

Таким образом, можно считать, что общее решение дифференциального уравнения n-го порядка должно содержать n независимых параметров

C1,C2, ,Cn.

Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка называется функция вида (3.15), зависящая от n независимых переменных, из которого при соответствующих значениях этих параметров могут быть получены все решения уравнения, кроме особых.

Приведем более подробное определение, в котором “расшифрованы” все

условия, содержащиеся в выше приведенном.

Пусть D - область в

каждой точке которой

задача

Коши

для

уравнения (3.15)

имеет

единственное

решение.

Функция (3.16),

где

C1,C2, ,Cn -

произвольные

постоянные,

называется

общим

решением

уравнения (3.15) в области D, если:

1) функция имеет непрерывные частные производные по

x до n-го

порядка включительно;

2) для любой точки M0(x0, y0, y0, , y0(n 1)) D система n уравнений

y0 (x0,C1,C2, ,Cn),

(3.17)

y

(n 1)

(n 1)(x

0

,C

2

, ,C

n

)

0

1

единственным образом разрешима относительно C1, ,Cn :

		C10 1(x0, y0, y0, , y0(n 1)),
		C20 2(x0, y0, y0, , y0(n 1)),							(3.18)
		Cn0 n(x0, y0, y0, , y0(n 1));
3) функция (x,C10, ,Cn0) является решением уравнения (3.15) при
любых значениях	произвольных постоянных			C10, ,Cn0,		когда			точка
M0(x0, y0, y0, , y0(n 1)) принадлежит области D.
Замечание.	Если в формуле общего решения (3.16) роль произвольных
постоянных C1, ,Cn		играют начальные значения			y0, y0, , y0(n 1)			искомой
функции y(x) и	ее	первых n 1	производных				(n 1)	(x) при
					y (x), , y
некотором фиксированном значении			аргумента	x x0 , то		формула			(3.16),
принимающая вид

80

	y (x,x0;y0,y0, ,y0(n 1)),	(3.19)
называется общим решением в форме Коши.
Интегрируя уравнение (3.15) редко удается получить решение,
зависящее	от n произвольных параметров, в виде (3.16).	В большинстве
случаев n	- параметрическое семейство интегральных кривых получается в

неявном виде (в виде, не разрешенном относительно неизвестной функции y ):

Ф(x, y,C1,C2, ,Cn) 0.	(3.20)
Такая форма решения называется общим интегралом уравнения.
Частным решением дифференциального уравнения (3.15)	называются

решения, полученные из общего решения при частных числовых значениях произвольных постоянных C1, ,Cn, включая случай, когда значения этих

констант равны : y (x,C10, ,Cn0).

Аналогично вводится понятие частного интеграла – это решение в неявном виде, полученное из общего интеграла (3.20) при частных значениях


параметров C C		0,	, C	n	C	0:
1	1					n
Особым	решением				Ф(x, y,C10, ,Cn0) 0.		(3.21)
					называется такое решение уравнения, в каждой
точке которого нарушается единственность решения задачи Коши.
Уравнение		n го порядка (3.15) может иметь семейство					особых

решений, зависящее от произвольных постоянных, число которых может

доходить до n 1.
Пример.		Найти решения	дифференциального	уравнения второго
порядка y 2		.
порядка y 2	y	.
Решение.	Введем новую неизвестную функцию			z(x) y (x). Отсюда
y z . Выраженное через новую			функцию дифференциальное уравнение

будет эквивалентно системе уравнений с разделяющимися переменными:

dz

2 z,

dx

dy z.dx

Из первого уравнения системы получим:

12 dzz dx (z 0), z x C1, z (x C1)2 при x C1.

Другим решением этого уравнения является функция z 0.

Подставим найденные функции во второе уравнение. Получим совокупность уравнений

81

dy		(x C )2	,
		(x C )2	,
		1

dx
	dy	0.
		0.
dx

Интегрируя эти уравнения, будем иметь:

y	1	(x C )			3 C	2	(x C );	y C.

	3		1				1
							y C не
Таким образом, семейство				решений				получается из общего

решения уравнения ни при каких значениях постоянных C1 и C2. Каждая из линий этого семейства является особым решением уравнения.

Итак, для данного дифференциального уравнения получено общее решение – двухпараметрическое семейство интегральных кривых, а также построены особые решения.

Пример. Для дифференциального уравнения, заданного в предыдущем примере, найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям: y(0) 1, y (0) 0.

Решение. Из общего решения уравнения и его производной получим систему уравнений для нахождения постоянных C1 и C2:

1

y(0)

(x C1)3 C2

1

3

x 0,

C1

C2

1,

3

dy(0)

2

(x C1)

)

x 0;

C1

0;

dx

C1 0,

C2 1.

Подставляя найденные постоянные в формулу для общего решения, получим частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям:

y x3 1. 3

3.3. Уравнения высших порядков, интегрируемые в квадратурах. Уравнения, допускающие понижения порядка

1. Из того, что дифференциальное уравнение n-го порядка (3.15) имеет решение, вовсе не следует, что решение выражается в квадратурах. Это замечание относится даже к уравнениям первого порядка. В этом параграфе будут указаны некоторые виды уравнений n-го порядка, общий интеграл которых, (или общее решение) можно найти при помощи квадратур.

Интегрирование таких уравнений будет осуществляться сведением к уравнениям низшего порядка. При такой процедуре порядки промежуточных

82

дифференциальных уравнений постепенно понижаются, а число входящих в них параметров C1,C2, (“произвольных постоянных”) – увеличивается. Интегрирование уравнения будет закончено когда получается общий интеграл Ф(x, y,C1, ,Cn) 0, не содержащий производных искомой функции и включающий n произвольных постоянных.

Ниже будем рассматривать неполные уравнения, т.е. уравнения вида (3.15) но такие, в которых функция, стоящая в правой части, зависит только от некоторых аргументов.

2.Уравнение, содержащее старшую производную неизвестной функции

изаданную функцию от x.

а) Рассмотрим решение уравнения (3.15) в том случае, когда в правой части функция зависит только от x, то есть уравнения вида

y(n) (x),	(3.22)
где, функция (x) непрерывна в некотором интервале	(a,b). Представляя


производную в форме y(n) y(n 1) , можно записать уравнение (3.22) так:
			dy(n 1)
					(x),
					(x),
откуда			dx
откуда				x
				x
		y(n 1)		(x)dx C1,				(3.23)
				x0
где C1 - произвольная постоянная,				x (a,b), x0 - любое фиксированное число
из промежутка (a,b). Рассуждая аналогично, находим
	x		s2
y(n 2) ds2 (s1)ds1 C1(x x0) C2,
	x0		x0
x	s3	s2				C1
y(n 3) ds3 ds2 (s1)ds1						C1	(x x0)2 C2(x x0) C3,
y(n 3) ds3 ds2 (s1)ds1							(x x0)2 C2(x x0) C3,
x0	x0	x0		2
x0	x0	x0

	x	s2

	y dsn (s1)ds1
	x0	x0
x	s2	C1
y dsn (s1)ds1		C1
			(x
		(n 1)!	(x
x0	x0

(3.24)

C1

(x x )n 2

C2

(x x )n 3

C ,

(n 2)!

0

(n 3)!

0

n 1

x )n 1

C2

(x x )n 2

C

n 1

(x x ) C .

0

(n 2)!

0

n

83

Последняя из формул (3.24) содержит все решения уравнения (3.22) в

области a x b,	y ,	y ,	, y(n 1)	и
представляет собой общее решение уравнения.
З а м е ч а н и е. Функция		s2
	x	s2
	Y(x) dsn (s1)ds1			(3.25)
	x0	x0

является частным решением уравнения (3.21), поскольку получается из общего решения при C1 C2 Cn 0.

Выражение для функции (3.25) можно упростить, если воспользоваться следующими соображениями. Введем следующую последовательность функций

x

K1(x,x0) (s1)ds1, x0

x	x	s2					x	s2
K2(x,x0) K1(s2,x0)ds2							ds2 (s1)ds1,
K2(x,x0) K1(s2,x0)ds2		(s1)ds1 ds2					ds2 (s1)ds1,
x	x	x					x	x
0	0			0			0	0
x	x		s		s
K3(x,x0) K2(s3,x0)ds3				3		2
K3(x,x0) K2(s3,x0)ds3						(s1)ds1 ds2 ds3,
x	x		x		x
0	0			0		0

(3.26)

x	x	sn 1	s2
Kn 1(x,x0) Kn 2(sn 1,x0)dsn 1 dsn 1 dsn 2 (s1)ds1,
x0	x0	x0	x0
x

Y(x) Kn 1(sn,x0)dsn, x0

где индекс у K -функций нумерует число квадратур в формуле, определяющей эти функции.

Упростим сначала формулу для функции K2(x,x0), рассматривая последнее интегральное выражение в этой формуле как повторный интеграл, равный соответствующему двойному интегралу по области D21 x0 s1 s2, x0 s2 x на плоскости S2OS1 (см. рис. 10):

x s2

ds2	(s1)ds1	(s1)ds1ds2.	(3.27)
x0	x0	D21
		84

Материал: Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями к задачам механики, физики, термодинамики и экологии. Ряжских В.И., Бырдин А.П

Смотрите также: