Документ: Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями к задачам механики, физики, термодинамики и экологии. Ряжских В.И., Бырдин А.П, страницы 86-90

Область интегрирования K2(x,x0). Область ограничена линиями: s1 x0,s1 s2, s2 x0 , s2 x.

s1

x			D21
x

	s1 s2
x0			s2
x0	x0	x
0	x0	x

Рис. 10

Двойной интеграл в правой части равенства (3.27) запишем в виде повторного интеграла, но с измененным порядком интегрирования относительно повторного интеграла в левой части этого равенства. Имеем:

x

sx

x

(s1)ds1ds2 ds1 (s1) ds2 ds1 (s1)s2

(x s1) (s1)ds1.

D

x

s

x

1

x

21

0

1

0

Таким образом,

выражение для функции K2(x,x0) записывается в виде

одной квадратуры

x

K2(x,x0) (x s) (s)ds,

(3.28)

x0

где переобозначили переменную интегрирования s1 s.

Для функции K3(x,x0)

упрощенное выражение получаем в результате

выполнения аналогичных процедур на плоскости S3OS :

x

s3

K3(x,x0) K2(s3,x0)ds3 ds3 (s3 s) (s)ds

x0

x

(s2 s) (s)ds3ds

ds (s)

(s3 s)ds3 ,

D31

x0

s

где область D31-та же , что на рис. 10, с переобозначением осей координат. Вычислив интеграл по s3, получим выражение для функции K3 в виде одной квадратуры:

85

x

K3(x,x0) 12 (x s)2 (s)ds. x0

Дальнейшее применение описанного выше алгоритма приводит к выражениям:

1

x

1

x

(x s)3 (s)ds,

(x s)n 2 (s)ds,

K4(x,x0)

Kn 1(x,x0)

2 3

(n 2)!

x0

x

x0

1

n 1

(3.29)

Y(x) (n 1)! (x s)

(s)ds.

x0

Таким образом, общему решению (3.24) уравнения (3.22) с учетом (3.29)

можно придать следующий вид:

1

x

n 1

n

(x x0)n k

y

(x s)

(s)ds Ck

(n 1)!

(n k)!

x0

k 1

(3.30)

1

x

(x x0)n 1

(x s)

n 1

(s)ds C1

(n 1)!

x0

C2

(x x0 )n 2

Cn 1(x x0 ) Cn ,

(n 2)!

где, как известно,

0! 1,

x0 - произвольная фиксированная точка из (a,b),

x (a,b), Ck

(k 1,2, ,n)- произвольные постоянные. Еще раз подчеркнем –

общее решение (3.30) дифференциального уравнения (3.22) содержит все решения этого уравнения.

Формула (3.30), представляющая общее решение уравнения (3.22), позволяет найти решение с любыми начальными значениями искомой функции и ее производных до (n 1)- го порядка включительно.

Пусть задана задача Коши
		y(n) (x),	(3.31)
	y(x0) y0,	y (x0) y0, , y(n 1)(x0) y0(n 1),
где x0 (a,b),	y0, y0, , y0(n 1) - произвольные заданные числа.

Для определения значений постоянных положим в формулах (3.23), (3.24) и (3.30) x x0 и подставим в левые части соответствующие значения y и производных при x x0 из (3.31). Из формулы (3.23) получаем:

86

y0(n 1)	x0	C10 y0(n 1),
y0(n 1)	(x)dx C1,	C10 y0(n 1),	(3.32)
	x0

где использовали равенство нулю определенного интеграла с одинаковыми верхним и нижним пределами интегрирования.

Первое из выражений в формулах (3.24) позволяет найти C2

x	s
0		2	C20 y0(n 2),
y0(n 2)		(s)ds ds2 C1(x x0) C2,	C20 y0(n 2),	(3.33)
x	x
0		0
остальные формулы этого блока определяют постоянные
		C30 y0(n 3), Cn0 1 y0.		(3.34)

Последнюю константу найдем аналогично из формулы (3.30): Cn0 y0. Таким образом, найдены все значения постоянных, входящих в решение уравнения. Собирая результаты вычислений (3.32)-(3.34), имеем:

Ck0 y0(n k) (k 1, ,n), или в подробностях:

C10 y0(n 1),

C20 y0(n 2), ,Cn0 1

y0, Cn0 y0.

(3.35)

Решение задачи Коши (3.31) получаем подстановкой найденных

постоянных (3.35) в общее решение (3.30) уравнения (3.22):

1

x

n

(x x

)n k

(n k)

0

n

1

(s)ds y0

(3.36)

y (n 1)! (x s)

(n k)! .

x0

k 1

З а м е ч а н и е.

Иногда функцию (3.36) называют общим решением

уравнения (3.22) в форме Коши. Однако в этом случае числа y0, y0

, , y0(n 1) в

формуле (3.36) являются произвольными постоянными.

б1. Рассмотрим частный случай – уравнения второго порядка вида

y (x).

(3.37)

Пример. Среди всех интегральных кривых уравнения y 6x выделить ту, которая в начале координат касается прямой y x.

1.	Решение.		Поскольку		искомая	интегральная кривая должна
проходить через начало координат,					то y(0) 0 - является первым условием.
Прямая	y x	с угловым коэффициентом k 1 должна быть касательной к
искомой линии		y(x)	в начале координат. Поэтому, y (0) 1. Таким образом,
получили задачу Коши
			y	6x,	y(0) 0,
						y (0) 1.

________________________________________________________________

1Материал этого пункта входит в обязательный минимум лекционного курса по дифференциальным уравнениям

87

Введем новую	функцию z(x) y (x).						Тогда z y .		Заданное
дифференциальное	уравнение			сводится			к	следующей	системе
дифференциальных уравнений 1-го порядка:
		dz	6x,		dy	z.

		dx			dx
Решение первого уравнения имеет вид z(x) 3x2 C1. Поскольку z y ,
то z(0) 1. Подставим в полученное решение x 0,								z(0) 1, получим C1 1.

Решаем второе уравнение, подставив в его правую часть z 3x2 1. Получим:

y (3x2 1)dx C2,	y x3 x C2.
Полагая, x 0, y(0) 0, получим	C2 0. Искомая интегральная кривая
уравнения: y x3 x.

2. Уравнение, не содержащее искомой функции и уравнение, не содержащее искомой функции, и нескольких первых производных.

В этом разделе будут рассмотрены несколько типов уравнений,

допускающих понижение порядка.

а) рассмотрим дифференциальное уравнение вида

y(n) f (x, y(m), y(m 1), , y(n 1))					(1 m n 1),		(3.38)
причем, производная m-го порядка обязательно входит в уравнение.
Введем новую неизвестную функцию
		z(x) y(m).					(3.39)
Тогда y(n) z(n m),		y(n 1) z(n m 1), , y(m 1) z и уравнение
(3.38) запишется в следующем виде
z	(n m)			(n m 1)		.	(3.40)
z		f (x,z,z , ,z				.	(3.40)
Это уравнение (n m)-го порядка . Введением замены (3.39) удалось
понизить порядок уравнения на m единиц.
Пусть интегрируя уравнение (3.40), мы нашли его общее решение
	z g(x,C1, ,Cn m).						(3.41)
В силу (3.39) это означает, что получено уравнение для функции							y(x)
вида:	y(m)
	y(m)	g(x,C , ,C	n m		).		(3.42)
		1	n m

Уравнение (3.42) относится к типу, уже изученному в п. 2 настоящего параграфа. Применяя метод, развитый для решения уравнения (3.31), получим формулу для общего решения уравнения (3.38) (аналог формулы (3.30)):

88

1

x

(x s)m 1g(s,C , ,C

y

)ds

(m 1)!

n m

1

(3.43)

x0

(x x )m 1

Cn m 1

0

Cn 1(x x0) Cn.

(m 1)!

Отдельно рассмотрим два частных случая уравнения вида (3.38).

а. 1. Рассмотрим уравнение вида:

y(n) f (y(n 1)).

(3.44)

Применяя

подстановку

z(x) y(n 1) , получаем уравнение

первого

порядка:

dz

f (z).

dx

Интегрируя, находим первый интеграл уравнения:

dz

x C .

f (z)

1

Предполагая возможным разрешение этого уравнения в элементарных

функциях относительно z(x), получаем

или

z (x,C1)

y(n 1) (x,C ).

(3.45)

1

Полученное уравнение относится к изученному типу (3.31). Используя

формулу для общего решения (3.30), получим:

1

x

n 2

(x x )n 2

y

(x s)

(s,C1)ds C2

0

Cn 1(x x0) Cn.

(3.46)

(n 2)!

x0

Формула (3.46) дает общее решение уравнения (3.44).

а. 2.

Еще один тип уравнений, разрешаемых в квадратурах и

представляющих собой частный случай уравнения (3.38), имеет вид:

y(n) f (y(n 2)).

(3.47)

Применяя

подстановку

z(x) y(n 2),

получаем дифференциальное

уравнение второго порядка:

z

f (z).

(3.48)

Уравнения такого вида встречаются в механике при изучении движения материальной точки. Понижение порядка уравнения до первого проводится следующим приемом. Умножим обе части равенства (3.48) на 2z dx. Учитывая, что

	2			2	,
2z z dx ((z )		)	dx d(z )		,	z dx dz,

89

Материал: Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями к задачам механики, физики, термодинамики и экологии. Ряжских В.И., Бырдин А.П

Смотрите также: