Документ: Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями к задачам механики, физики, термодинамики и экологии. Ряжских В.И., Бырдин А.П, страницы 91-95

запишем преобразованное уравнение:

d(z 2) 2f (z)dz.

Интегрируя, получаем первый интеграл:

(z 2) 2 f (z)dz C1,

или

z 2 f (z)dz C1.

Полученное дифференциальное уравнение допускает разделение переменных. Выполнив его, найдем второй промежуточный интеграл:

			dz	x C2.

		2 f (z)dz C1
		2 f (z)dz C1
Если удалось разрешить это уравнение относительно z(x), то имеем
	z (x,C1,C2),
или
y(n 2)			(x,C ,C		2	).	(3.49)
			1		2
Как и в предыдущем случае (п. 3.а.1, уравнение (3.45)), полученное
дифференциальное уравнение (3.49)			относится к изученному типу (3.31).
Таким образом, общее решение может быть получено (n 2)							квадратурами.

Воспользовавшись формулой (3.30), получим общее решение уравнения (3.47):

1

x

(x x0)n 3

y

(x s)

n 3

(s,C1

,C2)ds C3

(n 3)!

x0

(3.50)

(x x0)n 4

C4

Cn 1(x x0) Cn.

(n 4)!

б)1 Рассмотрим частный случай – уравнения второго порядка вида

y

f

,

(3.51)

(x, y )

т.е. не содержащие искомую функцию y в явном виде.

Выполнив

подстановку

z(x) y ,

получим

дифференциальное

уравнение:

dz

f (x,z).

(3.52)

dz

Если это дифференциальное уравнение является либо уравнением с

разделяющимися переменными (т.е.

f (x,z) f1(x) f2(z)),

либо однородным

уравнением (т.е.

f (x,z) f (z

x)), или приводящимся к однородному, либо

___________________________________________________________________

1Материал этого пункта входит в обязательный минимум лекционного курса по дифференциальным уравнениям

90

линейным уравнением (т. е. f (x,z) p(x)z q(x)), либо уравнением Бернулли

(т.е. f (x,z) p(x)z q(x)zn), либо уравнением в полных дифференциалах (т.е. dz f (x,z)dx dU), то мы можем построить его общее решение, применяя описанные в гл. 2 процедуры.

Предположим, нам удалось найти общее решение уравнения (3.52) z (x,C1).

Это означает, что далее нам необходимо решить дифференциальное уравнение вида:

dy

(x,C ).

dx

1

Разделяя переменные и интегрируя, получим его общее решение:

y (x,C1)dx C2.

(3.53)

Рассмотрим примеры интегрирования уравнений вида (3.51).

Пример.

Решить уравнение x3y x2y 1.

Решение. Вводим новую функцию z y , тогда y z . Подставив ее в

уравнение, имеем

x3z x2z 1.

p и его решение

Это линейное уравнение первого порядка относительно

разыскиваем в виде произведения z uv

x

3

2

uv 1.

(u v

uv ) x

Учитывая требования u(x3v x2v) 0, v(x) 0, находим функцию v(x):

dv

dx

v

1

, подставляем в уравнение для определения

u(x)

,

v

x

x3u

1

1.

Отсюда

x

dx

1

du

C1.

,

u

x2

x

Таким образом, p

C1

1

, и можно найти функцию y

x

x2

1

y C1

dx

,

y C1ln

x

C2.

2

x

Пример. Проинтегрировать уравнение y 2y exy 2.

Решение.

Применяя

подстановку

z y , относительно z получим

уравнение Бернулли: z 2z exz2. Очевидно, последнее уравнение допускает решение z 0, откуда y C . Найдем общее решение уравнения Бернулли, применив метод Бернулли. Ищем решение уравнения в виде произведения

91

z u v,

z

Подставим

в уравнение

эти выражения, имеем:

u v uv .

2uv

e

x

u

2

v

2

.

Потребовав,

чтобы одна

из введенных функций

u v uv

удовлетворяла однородному уравнению, получим систему уравнений с разделяющимися переменными

dv

2v 0,

dx

du exu2v.

dx

Интегрируя первое уравнение, получим

dv

dx,

~

2

lnv 2x C1.

v

Частное решение берем в виде:

v e 2x .

Подставим эту функцию во второе уравнение системы. Получаем

следующее дифференциальное уравнение

du

x

2

e

u

.

dx

Разделяя переменные и интегрируя, имеем:

du

e xdx C ,

1

e x C ,

u

1

.

u2

1

u

1

e

x C1

Учитывая замену, получим общее решение уравнения Бернулли:

1		,
z
	ex C e2x
1
или

dy

1

,

y

dx

C2.

ex C e2x

dx ex C e2x

1

Преобразуем интеграл к дробному виду

dx

dex

ex(1 C ex)

e

2x(1 C ex)

1

и обозначим ex t. Подынтегральную функцию разложим на сумму простых дробей

		1	A B				D	At(1 C t) B(1 C t) Dt2
								1		1	.
t	2	(1 C t)	t	t	2		1 C t	t	2	(1 C t)	.
t		(1 C t)		t		1		t		(1 C t)
		1								1

Коэффициенты разложения найдем комбинированным методом. Из равенства

At(1 C1t) B(1 C1t) Dt2 1,

92

положив t 0, найдем	B 1;	положив t 1 C , найдем	D C2	. Далее,
		1	1

приравнивая коэффициенты при t2 в правой и левой частях этого равенства, получим C1A C12 0, A C1.

Таким образом, получено разложение подынтегральной функции на простые дроби:

	1	C1		1	C12	.
e	2x(1 C ex)	ex	e			.
e	2x(1 C ex)	ex	e	2x	1 C ex
	1				1

Вычислив интеграл

dx

dex

C1

C12

C1lnex

e

2x(1 C ex)

ex

(ex)2

1 C ex

1

d(1 C ex)

C1x e x C1ln1 C1ex

C1

1

C2,

ex

1 C

ex

1

получаем общее решение уравнения:

y e x C1 ln1 C1ex x C2.

Решением уравнения является также функция y C и это решение не входит в семейство, описываемое общим решением.

Пример. Рассмотрим задачу геометрического характера. Найти все

кривые, кривизна которых в любой точке равна единице.

Решение.

Воспользуемся

известным

из

математического

анализа

выражением для

кривизны

линии

y(x)

и

приравняем кривизну

единице.

Получаем:

y

(1 y

2

3 2

(1 y 2)3

2 1,

или

)

.

Задача привела к дифференциальному уравнению 2-го порядка вида (3.51). Применяя подстановку y z, получим z (1 z2)32. Откуда

dz

(1 z2)32 x C1.

Интеграл вычисляем с помощью замены переменной z tgt;

dz dtcos2 t , 1 z2 1cos2 t. Получаем:

(1 zdz2)32 cosdt2 t (cos2 t)32 costdt sint.

93

Возвращаясь

к

переменной

z,

используем

формулу

sint

tgt

z

. Таким образом, получили общий интеграл уравнения

1 tg2t

1 z2

для функции z (первый интеграл)

z

x C1, откуда

z

x C1

,

1 z2

1 (x C )2

1

или

dy

x C1

.

2

dx

1 (x C1)

Интегрируя,

получаем

2(x C )d(x C )

1

2.

y C2

1

1 (x C1)

2

1 (x C1)

2

Возведем обе части равенства в квадрат, получим уравнение семейства

искомых кривых:

(x C )2 (y C

)2 1.

2

1

Искомые линии – окружности с радиусом, равным единице. 4. Уравнения, не содержащие независимой переменной.

а). Общий вид таких уравнений, разрешенных относительно старшей производной, следующий

y(n)

f (y, y , y , , y(n 1)).

(3.54)

Введем новую неизвестную функцию, зависящую от x посредством y:

(3.55)

z(y) y .

Выразим производные по x функции y через функцию z и ее

производные по

y. Имеем, используя правило дифференцирования

сложной

функции:

dy

dz

dy

dz

y

z

,

dx

dy

dx

dy

d

dz

d

dz

dy

d

2

z

dz

2

y

z,

z

dx

dy2

dx dy

dy dy

dy

.

n

По индукции заключаем, что производная

порядка

функции

y

выражается через новую функцию

z

и ее производные

по

y

до

(n 1) -

го

порядка включительно. Таким образом, получили выражения производных от y следующего вида:

y z	dz		y z2	d2z	dz	2
		,			z	,
		,			z	,
	dy			dy2
	dy			dy2	dy
			94

Материал: Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями к задачам механики, физики, термодинамики и экологии. Ряжских В.И., Бырдин А.П

Смотрите также: