Дипломная работа: Построение тарифов в автостраховании

В зависимости от возраста водителя, выделено 9 групп, распределение по группам представлено ниже (табл. 10).

Таблица 10 Правило отнесения в группы - возраст водителя

Первые две возрастные группы включают в себя самых молодых водителей, для которых среднестатистические страховые тарифы существенно выше, чем для других групп водителей.

Разбиение значимо на уровне значимости гораздо меньше 0,05 (значение F наблюдаемого = 57,3, что значительно превосходит критическое значение).

Рис. 14. Уровни ряда распределения количества страховых случаев по возрастным группам

Уровни ряда (рис. 14) значительно различаются для разных групп переменной возраста водителя. Также заметена отрицательная зависимость средних уровней убытков по договорам от возраста водителя - при увеличении возраста, водители характеризуются более низкими средними значениями частоты наступления страхового случая.

В делении водителей на группы по стажу первые две группы водителей также считаются неопытными с большой вероятностью наступления страхового случая и, соответственно, высокими тарифами.

Разбиение автовладельцев по опыту вождения представлено в следующей таблице (табл. 11).

Таблица 11 Правило отнесения в группы - опыт вождения

Далее представлен график со средними уровнями ряда для стажа водителя (рис. 15). По приведенному графику можно судить о значимых различиях в уровнях ряда. Тест на значимость различий в средних уровнях ряда подтверждает это предположение на уровне значимости гораздо меньше 0,05. В данном случае значение F-статистики равно 51,583.

Также на графике (рис. 15) видно, что доверительные интервалы для оценок средних уровней фактора практически не пересекаются, что крайне важно для последующего анализа и качества получаемой модели.

Рис. 15. Уровни ряда распределения количества страховых случаев по группам водительского стажа

Разбиения на группы всех четырех факторов оказались значимыми на уровне значимости гораздо меньше 0,05. Как было отмечено выше, в силу ненормальности распределения зависимой переменной, затруднительно точно назвать уровень значимости, однако с учетом значительного превосходства наблюдаемых статистик над значимыми, делается вывод о значимости всех разбиений, по крайней мере, на уровне значимости 0,05.

Для более глубокого анализа значимости разбиения на группы, можно сравнить отдельно средние уровни ряда в каждой паре групп. Это можно сделать с помощью однофакторного комплекса дисперсионного анализа (чтобы найти дисперсию, не описанную различиями в уровнях - Qост), а далее рассчитать наблюдаемые t - статистики по формуле:

,

где и - средние значения переменной ущерба в соответствующих группах, - остаточная дисперсия, - совокупное количество наблюдений по всем группам, - количество групп фактора, и - количества наблюдений в соответствующих группах.

Остаточная дисперсия посчитана с помощью однофакторной дисперсионного анализа в Microsoft Excel и составила 706 998 444 032 108. Данные по количеству наблюдений в группах, а также средние уровни ряда представлены ниже (табл. 12). автострахование тариф покрытие стаж

Таблица 12 Данные по количеству наблюдений и средним уровням ряда в отдельных группах возраста автомобиля

Полученные значения статистики по модулю сравниваются с критическим значением t-статистики Стьюдента на уровне значимости 0,05 (в данном случае: 1,96). В случае, если модуль наблюдаемой статистики больше критического значения, гипотеза о незначимости различий в уровнях ряда отвергается, а различия признаются значимыми.

Рассчитанные значения статистики представлены ниже (табл. 13).

Полужирным шрифтом выделены значения статистики, по модулю превышающие критическое на уровне значимости 0,05. Соответствующие пары групп имеют статистически значимые различия в уровнях ряда ущерба. Курсивом выделены значения, превышающие по модулю критическое значение на уровне значимости 0,1. Соответствующие пары групп имеют существенные отличия на уровне значимости 0,1. Что касается оставшихся значений (их 4 штуки) - соответствующие группы не имеют статистически значимых отличий (по крайней мере, на уровне значимости менее 0,1).

В целом, большинство пар групп по возрасту автомобиля имеют статистически значимые различия в средних уровнях ряда, что указывает на хорошее качество разбиения данных на группы, а незначительные различия наблюдаются только в некоторых соседних группах.

2.3 Основные принципы расчета обобщенных линейных моделей как метода построения страховых тарифов в портфеле договоров КАСКО

В эконометрике из статистических процедур чаще других используется множественная линейная регрессия. В статистических задачах актуарной математики возникают ситуации, которые не всегда вписываются в эти рамки. Линейная регрессия подразумевает нормально распределенные возмущения с постоянным разбросом вокруг среднего, которое является линейной функцией вспомогательных переменных.

В актуарных приложениях симметричная нормально распределенная случайная величина с постоянной дисперсией не может служить правильным описанием ситуации. В этих задачах хорошей моделью обычно является распределение Пуассона, если выполняются предположения о пуассоновском процессе. Для таких случайных величин среднее значение и дисперсия совпадают, однако на практике дисперсия обычно превышает среднее значение. Распределение, описывающее размер ущерба, должно иметь тяжелый хвост справа. Моделируемые явления редко бывают аддитивными относительно вспомогательных переменных. Более подходящей представляется мультипликативная модель [20].

Указанные выше сложности можно разрешить, работая не с обычными, а с Обобщенными Линейными Моделями (англ.: Generalised Linear Models). Начало развития теории обобщенной линейной модели было положено еще при зарождении самой математики, однако появление теории алгебраических инвариантов в 1800 годах позволило создать обобщенную линейную модель такой, какая она представлена в литературе сейчас.

Большинство европейских страховых компаний используют обобщенные линейные модели для анализа портфелей. Эти модели используются в Италии, Голландии, Испании, Португалии, Бельгии, Швейцарии, Южной Африке, Израиле, Австралии и в скандинавских странах. Метод становится популярен в Канаде, Японии, Корее, Бразилии, Сингапуре, Малайзии и странах восточной Европы.

Обобщенные линейные модели были сформулированы Джоном Нелдера и Робертом Веддерберном как способ объединения различных других статистических моделей, в том числе линейной регрессии, логистической регрессии и регрессии Пуассона [29].

Обобщение в рассматриваемых моделях производится в двух направлениях. Во-первых, допускается не только нормальное распределение случайных отклонений от среднего. Можно выбрать произвольное распределение из экспоненциального семейства, в которое, кроме нормального распределения, входят также распределение Пуассона, (отрицательное) биномиальное распределение, Гамма-распределение и обратное нормальное распределение. Во-вторых, среднее значение случайной величины не обязано быть линейной функцией средних значений объясняющих переменных, достаточно линейности в некотором масштабе [28].

Таким образом, основными преимуществами обобщенных линейных моделей по сравнению с традиционными методами являются следующие особенности анализа:

Ч возможность учёта сложных видов взаимодействия между факторами;

Ч большой выбор вида функции зависимости;

Ч отсутствие требований о нормальности распределения переменной отклика;

Ч статистическое измерение эффекта влияния различных факторов на наблюдаемую величину;

Ч получение информации о достоверности результатов построенной модели.

Обобщенные линейные модели содержат следующие три компоненты [24]:

1. Стохастическая компонента: наблюдения считаются независимыми случайными величинами плотности которых принадлежат показательному дисперсионному семейству.

2. Систематическая компонента модели связывает с каждым наблюдением линейный предиктор который является линейным по параметрам

3. Среднее значение для связано с линейным предиктором функцией связи,

Связь в обобщенной линейной модели предполагает вид:

,

где g -какая-то определенная функция, а - остатки модели, или ошибка предсказания. При этом функция, обратная к g(X), называется функцией связи.

,

В матричной форме уравнение модели можно записать в следующем виде:

,

В зависимости от предполагаемого распределения, можно выбрать различные функции связи [22]. Для нормального распределения, Гамма-распределения, обратного нормального распределения и распределения Пуассона представлены следующие функции связи:

1. Тождественная связь: ;

2. Логарифмическая связь: ;

3. Степенная связь: для заданного .

Для биномиального распределения и порядкового полиномиального распределения существуют следующие функции связи:

1. Логит-связь: ;

2. Пробит-связь: , где - обратная функция стандартной нормальной кумулятивной функции распределения;

3. Лог-лог связь:

4. Дополнительная лог-лог связь: .

Для полиномиального распределения функцией связи служит обобщенная логит-связь:

,

где модель имеет категории.

Параметры обобщенной линейной модели , а также параметр масштаба оцениваются с помощью метода максимального правдоподобия, в котором используется итеративная процедура. Существует множество итеративных методов оценивания методом максимального правдоподобия, среди которых наиболее часто используемыми следует признать методы Ньютона-Рапсона и Фишера (или итеративный взвешенный метод наименьших квадратов) [26].

В силу того, что рассматриваемый фактор ущерба имеет Гамма-распределение, выбирается логарифмическая функция связи:

,

Тогда модель можно записать в следующем виде:

,

,

Суть расчета страховых тарифов состоит в определении минимальной ставки, достаточной для возмещения выплат. При этом некоторые договора остаются безубыточными, т.е. по ним платится премия страховой компании, но последняя не производит выплаты. Некоторым же страхователям выплачивается страховое возмещение суммой, достигающей страховое покрытие. В связи с этим, в рисковом страховании крайне важно определить такие страховые премии, которые смогут покрыть неизвестные на момент получения премии убытки.

Первичный анализ данных по ущербу в портфеле договоров автострахования крупной страховой компании показал неоднородность страхового портфеля, существенную правостороннюю асимметрию распределения ущерба по договору страхования КАСКО и наличие у распределения тяжелого правого хвоста. Проверка на соответствие Гамма-распределению показала, что его можно использовать далее при построении моделей для расчета тарифных сеток в третьей главе, что предпочтительно в актуарных моделях такого рода.

Далее дано обоснование выбранных для анализа факторов, влияющих на убыточность и суммы ущерба по договорам страхования. По выбранным факторам проведено разделение на группы и проверено их статистическая значимость с помощью F-критерия Фишера. Все разбиения оказались значимыми на уровне значимости гораздо меньше 0,05, что говорит о приемлемом качестве разбиения. По графикам средних уровней зависимой переменной замечено, что во всех разделениях на группы интервальные оценки среднего уровня практически не пересекаются.