Дипломная работа: Построение тарифов в автостраховании

Желательно, чтобы рассчитанные страховые премии удовлетворяли следующим пяти основным свойствам [21]:

1) Неотрицательность рисковой надбавки: . Премия без надбавки достоверно приведет к разорению.

2) Отсутствие переоценки: . Если случайная величина X является неограниченной, то эта премия бесконечна.

3) Согласованность: при всех c. Если увеличить потери на постоянную величину c, то премия должна увеличиться на ту же величину. Более информативным синонимом согласованности является термин инвариантности относительно сдвигов.

4) Аддитивность: для независимых X, Y. Объединение независимых рисков в один не меняет суммарной премии.

Возможность последовательного вычисления: для всех X, Y. Для нетто-премии возможность последовательного вычисления вытекает из свойства итеративности математических ожиданий.

2.2 Статистический анализ портфеля договоров страхования КАСКО и формирование тарифных групп по базовым показателям

Перед непосредственным построением каких-либо статистических моделей необходимо проанализировать массив имеющихся данных. В первую очередь, следует исследовать зависимую переменную ущерба по договорам страхования КАСКО.

В следующей таблице приведены основные дескриптивные статистики для распределения выплат, приходящихся на один убыточный договор по портфелю договоров (табл. 7).

Таблица 7 Основные описательные статистики распределения ущерба в страховом портфеле КАСКО

По приведенной табл. 7 видно, что разброс показателя значительный, а среднее значение сильно отличается от максимального значения показателя. Стоит отметить, что 89% значений переменной сосредоточены в интервале до 100 000 рублей.

Коэффициент вариации равен 2,153 - крайне высокое значение для портфеля договоров страхования, что говорит о большой неоднородности портфеля. В актуарных расчетах коэффициент вариации называют степенью риска. Если данный показатель превышает 0,3, говорят о большом риске портфеля.

Полученное распределение ущерба далеко от нормального, из-за чего для анализа портфеля не могут быть использованы классические регрессионные модели. Распределение ущерба имеет существенную правостороннюю асимметрию (что подтверждает коэффициент асимметрии Ас=10 из табл. 9) и длинный хвост справа, который не был показан на графике для большей информативности гистограммы. Такие особенности распределения могут быть описаны некоторыми распределениями из экспоненциального семейства [18].

Главной особенностью распределений экспоненциального семейства выделяют то, что дисперсия в таких распределениях является функцией от математического ожидания.

В актуарных расчетах чаще всего используют Гамма-распределение для описания распределения ущерба по договорам страхования. Стоит заметить, что распределение ущерба зачастую имеет Гамма-распределение, и актуарные отделы страховых компаний в своих расчетах ссылаются именно на данный закон. Это происходит потому, что Гамма-закон распределения имеет основную массу наблюдений в нескольких интервалах слева, а справа распределение представляет собой длинный хвост.

Данное распределение по исследуемому портфелю соответствует Гамма-распределению по тесту Колмогорова - Смирнова на уровне значимости 0,05. Исходя из этого факта, именно этот закон использован для моделирования обобщенных линейных моделей.

В общем виде Гамма-распределение - это двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений с функцией плотности вероятности, имеющей вид [1]:

,

где Г(k) - Гамма-функция, которая выглядит следующим образом:

,

Гамма-функция обладает следующими свойствами:

,

,

Константы , где - коэффициент масштаба.

Гамма-распределение обладает следующими свойствами:

Ч Если - независимые случайные величины, такие что то ;

Ч Если и - произвольная константа, то

Ч Гамма-распределение бесконечно делимо.

Из всех факторов, имеющих значимое влияние на случайную величину убытка на один полисо-год или ставку убытка, логично в первую очередь выбрать фактор с наиболее отчетливыми различиями реализаций этой случайной величины по классам значений. Количественно различие классов можно определить с помощью гипотезы равенства математических ожиданий нормированных годовых убытков. Тем самым задача отбора факторов сводится к проверке гипотезы равенства средних.

Самый известный способ проверки гипотезы равенства нескольких математических ожиданий - дисперсионный анализ. Известно, что одной из основных предпосылок применения дисперсионного анализа и t-теста для проверки гипотезы значимости различий средних значений уровня фактора является требование нормальности распределения зависимой переменной Y, которая в условиях данного исследования не выполняется.

Однако, работы российских математиков [член-корреспондент СО АН ВШ Б.Ю. Лемешко, В.М. Пономаренко], проверявших правомерность применения классического аппарата статистического анализа при нарушении предположений о нормальности [3] показали, что «даже в случае асимметричности законов распределения или распределений с «тяжелыми хвостами» степень отклонения распределения основной статистики дисперсионного анализа не существенна. Следовательно, при проверке таких гипотез можно опираться на соответствующее F-распределение Фишера без опасения совершить существенную ошибку».

Поэтому, несмотря на то, что распределение изучаемой величины убытков отлично от нормального, произведена проверка различий средних значений уровней всех факторов с помощью классических методов дисперсионного анализа.

Для первого потенциального тарифного фактора обозначаются через и соответственно нормированный совокупный убыток (убыток на один полисо-год или ставку убытка) и объем i-го класса в j-ом году, , .

С помощью следующих обозначений

- суммарный объем i-го класса за все года;

- суммарный объем всех классов за весь рассматриваемый промежуток времени;

- групповые средние ущерба,

- общее среднее значение ущерба,

можно получить аналогичное принятому в дисперсионном анализе разложение общей суммы квадратов отклонений на факторную и остаточную суммы квадратов отклонений [16]:

,

где слагаемые независимы. Введя дополнительные обозначения:

- аналог остаточной суммы квадратов отклонений в дисперсионном анализе - характеризует одинаковую для всех уровней вариацию под воздействием неучтенных факторов;

- аналог факторной суммы квадратов отклонений - характеризует изменчивость, обусловленную различиями между уровнями фактора,

можно заметить, что случайная величина имеет - распределение с степенями свободы, а случайная величина при нулевой гипотезе имеет - распределение с степенями свободы (а в противном случае имеет тенденцию принимать большие значения).

Тогда при справедливости нулевой гипотезы статистика

,

имеет F-распределение с и степенями свободы (F-критерий). В качестве первого тарифного фактора выбирается фактор риска, у которого F-критерий наиболее явно отвергает нулевую гипотезу равенства математических ожиданий логарифмированных величин убытка (значение статистики критерия максимально превышает соответствующую заданному уровню значимости квантиль F-распределения). Таким образом, проверяется качество разбиения показателей на группы.

Статистические исследования показывают, что наибольшее влияние на аварийность и среднюю величину ущерба оказывают [36]:

Ч страховое покрытие автомобиля - фактически его стоимость (чем дороже автомобиль, тем дороже его детали, тем выше стоимость ремонта автомобиля);

Ч возраст автомобиля (новые автомобили, как правило, находятся на гарантии, по которой в некоторых случае производят ремонт автомобиля, не обращаясь в страховую компанию; к тому же при увеличении возраста автомобиля возникает все большее количество проблем, так как у каждого аппарата есть свой срок годности);

Ч возраст водителя (исследования показывают, что молодые водители менее аккуратны на дорогах и попадают в большее количество аварий);

Ч стаж водителя (водители с большим стажем опытнее, поэтому ведут себя на дорогах гораздо менее опасно, а иногда водителям с маленьким стажем вождения элементарно не хватает опыта, чтобы избежать столкновения).

При этом первые два фактора непосредственно влияют на величину причиняемого автомобилю ущерба, а последние два связаны с аварийностью - количеством страховых случаев и частотой попадания в аварию. Исходя из этих соображений, в рамках проводимого анализа рассмотрены взаимосвязи ущерба со страховым покрытием и возрастом автомобиля, и частоты наступления страхового случая с возрастом и стажем водителя.

Данные по четырем выбранным факторам разбиты на группы исходя из общепринятого деления в российских страховых компаниях [49]. А далее проверяется статистическая значимость разбиения на группы путем проверки гипотезы о незначимости с помощью F-критерия Фишера.

Итак, данные по страховому покрытию разбиты на 18 групп; данные по возрасту автомобиля - на 8 групп. Данные по возрасту водителя объединены в 9 групп, а данные по стажу водителя - в 6 групп.

Правило отнесения определенных автомобилей по группам в зависимости от страхового покрытия выглядит следующим образом (табл. 8).

Таблица 8 Правило отнесения в группы - страховое покрытие ТС

Каждая группа разбиения по страховому покрытию охватывает интервал покрытия в 100 тысяч рублей. Последняя, 18 группа содержит в себе все автомобили от 1,8 до 3 млн. рублей. Последняя группа включает в себя весь правый хвост распределения: основное количество застрахованных автомобилей находится до 1,8 млн. рублей, поэтому в последнюю группу попало небольшой количество автомобилей с большими страховыми суммами.

Здесь следует обратить внимание, что автомобили со страховым покрытием свыше 3 миллионов рублей исключены из рассмотрения, так как такие автомобили попадают в разряд «дорогих», и, соответственно, к ним применяются не стандартные методы расчета премий, а индивидуальный подход в каждом отдельном случае.

Разбиение на группы по страховому покрытию статистически значимо по F-критерию Фишера на уровне значимости гораздо меньше 0,05 (значение статистики F наблюдаемого равно 57,3). Средние уровни ущерба по группам страхового покрытия представлены на графике (рис. 12).

Рис. 12. Уровни ряда ущерба для групп по страховому покрытию

Видны сильные отличия в уровнях ряда. Соседние группы отличаются не так сильно, но если сравнивать не соседние группы, то различия существенные. Доверительные интервалы для ущерба по группам страхового покрытия практически не пересекаются, что еще раз подтверждает высокое качество разбиения фактора на группы.

Правило отнесения по возрасту транспортного средства представлено в виде таблицы (табл. 9).

Таблица 9 Правило отнесения в группы - возраст ТС

На следующем графике приведены различия в средних уровнях ряда по данному разбиению (рис. 13).

Рис. 13. Уровни ряда ущерба для групп по возрасту ТС

Данное разбиение также оказалось значимым на уровне значимости менее 0,05: F-статистика, равная 9,22, превышает критическое значение. На представленном графике (рис. 13) видны различия в уровнях ряда ущерба.