Материал: Практикум по высшей математике. дифференциальное исчисление. Пантелеев И.Н

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Рис. 2.20

г) Функция определена на всей числовой оси х. Находим производную y′ = 3(x +1)2 (x −3) + (x +1)3 = 4(x +1)2 (x − 2) . Из уравнения (х + 1)2(х -2) = 0 определяем корни производной x1,2 = −1 и x3 = 2. Корни уравнения определяют три промежут-

ка ] −∞, −1]; ] −1, 2] и ]2, ∞[ . Из выражения производной вид-

но, что при переходе через корень x1,2 = -1 производная не меняет знака. При x < −1 и при -1 < х < 2 имеем: y′ < 0 , следова-

тельно, функция убывает. При х > 2 производная y′ > 0 , сле-

довательно функция возрастает.

д) Функция y определена на всей числовой оси. Находим ее производную

	2		при	x > 0;
3x			при	x > 0;
y′ =
		2
−3x		2	при	x < 0.
−3x			при	x < 0.

Отсюда следует, что функция при х < 0 убывает, так как y′ < 0 при любом значении х, а при x > 0 возрастает, так как

y′>0.

График этой четной функции показан на рис. 2.21. 186

Рис.2.21.

8.2. Доказать справедливость неравенств: а) tgx > x3 + x

x > ln(1 + x) при х > 0; в)

при 0 < x <

; б)

x −

< sin x < x

при х > 0.

Решение.

а)

Найдем

производную

функции

y = tgx −

+ x

для

указанных

значений

х:

у′

− x

−1

= tg

x − x

cos2 x

Поскольку tg2x - x2 > 0, так как tg2x > x2,

tgx > x, то

′

> 0

функция возрастает,

откуда tgx − 3

− x > 0

или

tgx >

+ x .

y = x − ln(1 + x) :

б)

Найдем

производную

функции

′

=1 −1 + x = x +1 . При x=0 функция имеет минимум, а при

187

x > 0,

y′ > 0

функция

возрастает.

Следовательно,

x − ln(1 + x) > 0 , откуда x > ln(1 + x) .

в) Рассмотрим систему неравенств

x −

< sin x,

sin x < x.

Введем

функции f (x) = x −

−sin x,

ϕ(x) = sin x − x и

′

найдем их производные

=1 − x

f (x)

− cos x, ϕ (x) = cos x −1.

При

x > 0, f

′

как

1 − x

< cos x ,

′

или

(x) < 0 , так

ϕ (x) < 0

равна

нулю

для

значений

x = 2πκ (κ = 0,1,2...) , так

как

cosx<1.

Функции убывающие, следовательно x −

−sin x < 0, и

sin x − x < 0 , откуда x −

< sin x < x .

2.9. Максимум и минимум функции

10. Значение функции y=f(x) в точке х0 называется максимальным (минимальным), если оно является наибольшим (наименьшим) по сравнению с ее значениями во всех достаточно близких точках слева и справа от х0.

Максимум и минимум функции называется экстремумом

функции. Значения аргумента, при которых функция имеет экстремум, называются критическими значениями или критическими точками.

Чтобы найти экстремальные значения функции, надо найти ее производную f ′(x) и, приравняв ее к нулю, решить

уравнение f ′(x) = 0 . Корни этого уравнения, а также точки, производная в которых не существует, являются критическими

188

точками, т. е. значениями аргумента, при которых может быть экстремум.

Если знак производной при переходе через точку x0 меняется с плюса на минус, то x0 есть точка максимума; если знак производной меняется с минуса на плюс, то х0 есть точка минимума; если знак не меняется, то в точке x0 экстремума нет.

Иногда проще исследовать критическую точку по знаку второй производной.

Если в критической точке, где первая производная равна нулю, f ′′(x) <0, x0 есть точка минимума; если f ′′(x) < 0, то x0

есть точка максимума; если f ′′(x0 ) = 0, то такую точку иссле-

дуют по первой производной.

20. Если функция задана неявно F(x,y) = 0, то для того

	y	′		Fx′(x, y)
чтобы			= − Fy′(x, y)		= 0 ,	должно выполняться равенство

Fx′(x, y) = 0 . Здесь Fx′					и Fy′	производные от функции F по x и

y, найденные в предположении, что у и х не зависят от х и у, соответственно.

Решая совместно F(x,y) = 0 и F ′(x,у) = 0, находим критические точки. Экстремум функции в критических точках на-

ходят по знаку второй производной y′′xx = −					Fxx′′	. Если в крити-
ходят по знаку второй производной y′′xx = −					Fx′	. Если в крити-
		′′			Fx′	′′
		′′				′′	> 0 , то
ческой точке yxx <				0 , то это точка максимума; если yxx			> 0 , то
это точка минимума.
9.1. Исследовать на экстремум функции:
а) y =	x3	−	x2	− 2x ; 6) y = x(x − 2)3 .
а) y =		−		− 2x ; 6) y = x(x − 2)3 .
3		2

Решение. а) Находим производную y′ = x2 − x − 2 . При-

равниваем ее к нулю x2 − x − 2 = 0 . Корни этого уравнения x1=-1 ; x2=2 являются критическими точками.

189

Представим	производную в следующем виде
y′ = (x +1)(x − 2)	и рассмотрим методом интервалов, как меня-

ется знак при переходе через критические точки (рис. 2.22).

Рис. 2.22

При переходе через точку x1 = -1 производная меняет знак с плюса на минус, а при переходе через x2 = 2 с минуса на плюс. Значит, при x1= -1 функция имеет максимум, а при x2 = 2 функция имеет минимум.

Находим экстремальные значения функции: f (−1) = 76 -

максимум функции; f (2) = −103 минимум функции. График функции показан на рис. 2.23.

Рис. 2.23

б) Находим производную y′ = 2(x − 2)2 (2x −1) и приравниваем ее к нулю (x − 2)2 (2x −1) = 0 . Корни этого уравнения

x1= 2, x2 = 12 являются критическими точками.

При переходе через точку x1 =2 производная знака не меняет, поскольку данный множитель в квадрате, а при переходе

190

Источник: https://studfile.net/preview/16565748/

Смотрите также:




Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27