Материал: Практикум по высшей математике. дифференциальное исчисление. Пантелеев И.Н
через точку меняет знак с минуса на плюс. Значит, при x2 = 12
функция имеет минимум.
Находим экстремальные значения функции, а именно минимум функции f (12) = −1627 . График функции показан на рис. 2.24.
Рис.2.24
9.2. Исследовать на экстремум функции:
|
x4 |
2 |
|
y = x |
3 |
|
x4 |
5 |
4 |
|
||
а) у = |
|
− 2x |
|
+1 ; 6) |
|
− |
|
; в) y = 4x −5 x |
|
. |
||
4 |
|
|
4 |
|
||||||||
Решение. а) Находим первую производную |
y′ = x3 − 4x |
|||||||||||
и приравниваем ее к нулю |
x(x2 − 4) = 0 . Корни этого уравне- |
|||||||||||
ния: x1 =0, x2 = 3, x3 = -2 являются критическими точками. |
|
|||||||||||
Находим вторую производную y′′ = 3x2 − 4 |
и выясним |
|||||||||||
знак второй производной |
|
|
|
|
|
′′ |
|
|
||||
в критических точках: y (0) < 0 - |
||||||||||||
|
′′ |
> 0 - функция имеет минимум; |
|
функция имеет максимум; y (2) |
|||
′′ |
|
|
Определяем экстре- |
y (−2) > 0 - функция имеет минимум. |
|||
мальные |
значения функции: f (0) = 0 - |
максимум функции; |
|
f (2) = −3 |
- минимум функции; |
f (−2) = −3 - минимум функ- |
|
ции. График функции показан на рис. 2.25.
191
Рис. 2.25
б) Находим первую производную y′ = 3x2 − x3 и прирав-
ниваем ее к нулю x2(3-x) = 0. Корни этого уравнения: x1 = 0, x2 = 3 являются критическими точками.
Находим вторую производную y′′ = 3x(2 − x) и выясним
знак в критических точках.
При x2 = 3 вторая производная y′′(3) < 0 - функция имеет максимум. При x1 = 0 вторая производная y′′(0) = 0, следова-
тельно, судить об экстремуме нельзя. Проверим наличие экстремума по первой производной. Поскольку при переходе через точку x1=0 первая производная знака не меняет, то в точке x1 = 0 экстремума нет.
Определяем в точке x2 = 3 максимальное значение функ-
ции f (3) = 274 . График функции показан на рис. 2.26.
Рис. 2.26
192
в) Функция определена на всей числовой оси. Находим
|
|
′ |
|
|
1 |
= 5 |
4 |
5 |
производную |
y |
|
= 4 − 4 |
5 x |
x ( x −1). Приравниваем про- |
|||
изводную к нулю |
(5 x −1)= 0 и |
находим критическую точку |
||||||
x1=1. При переходе через точку x1 = 1 производная у' меняет знак с минуса на плюс, следовательно, в точке x1 = 1 функция имеет минимум y(1) = −1.
Приравнивая к нулю знаменатель производной, получаем 5 x =0. Отсюда находим критическую точку функции x2 = 0, в которой производная не существует. Очевидно, что в точке x − 0 производная y′ > 0 , а в точке x + 0 производная y′< 0.
Следовательно, |
x2 = 0 есть точка максимума функции у(0) = 0 |
(рис. 2.27). |
|
9.3. Найти экстремальные значения функций: |
|
а) xy2 − x2 y = 2a3 ; б) x4 + y 4 − 4xy = 0 . |
|
Решение. |
а) Функция задана неявно. Находим |
Fx′ = y 2 − 2xy . |
|
Рис. 2.27
Производная y′ = 0 тогда, когда Fx′ = 0 , т. е. y 2 - 2ху = 0. Решая совместно систему
xy2 − x2 y = 2a3 ,
y 2 − 2xy = 0,
193
находим критическую точку х = а, у = 2а.
Вычисляем вторую производную |
′′ |
= |
|
2 y |
|
. В кри- |
|||||||
|
|
|
|
||||||||||
yxx |
2xy |
− x2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
′′ |
|
4 |
|
|
|
′′ |
|
|
|
|
|
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
тической точке yxx = |
3a |
и yxx > 0 , если а > 0, и |
yxx <0, если |
||||||||||
а<0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, функция y при а > 0 имеет минимум, а |
|||||||||||||
при а < 0 имеет максимум. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
б) Находим Fx′ = 4x3 − 4 y, Fy′ = 4 y3 − 4x и приравниваем |
|||||||||||||
к нулю Fx′= 0 , x3 - y= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Из решения системы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
4 |
+ y |
4 |
− 4xy = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
− y |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
находим критические точки х = 0, у = 0; |
х = 8 |
3 |
, у = 8 27 и |
||||||||||
x = −8 3 , y = −8 27 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычисляем вторую производную |
′′ |
= |
3x2 |
и опреде- |
|||||||||
|
|
|
|||||||||||
yxx |
y3 |
− x |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ляем ее знак в критических точках. Поскольку при x = 0, y = 0 и Fy′ = 0 , то в окрестности этой точки уравнение может
определять у как неоднозначную функцию от x, поэтому точку
(0,0) |
оставляем в стороне. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
При |
|
|
x = 8 |
3 |
|
|
|
вторая |
|
производная |
||
′′ |
|
38 |
9 |
= − |
38 |
3 |
< |
0 , т. е. при x = |
8 |
3 функция имеет |
|||
yxx = − |
38 3 |
− 8 |
2 |
|
|
||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
максимум, равный ymax |
= 8 |
27 . При x = −8 3 |
вторая производ- |
||||||||||
ная |
′′ |
|
|
38 |
9 |
|
= |
38 |
|
3 |
> 0 , т. е. функция имеет мини- |
||
yxx = − |
−38 3 |
− 8 3 |
4 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
мум, равный |
ymin |
= −8 |
27 . |
|
|
|
|
|
|||||
194
2.10 Наибольшее и наименьшее значение функции
Наибольшим значением функции y = f (x) на некотором
отрезке [а,b] называется самое большое, а наименьшим значением - самое меньшее из всех ее значений.
Если функция непрерывна в некотором интервале и имеет только один экстремум и если это максимум (минимум), то он будет наибольшим (наименьшим) значением функции в этом интервале (конечном или бесконечном).
При определении наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке [а,b] приравнивают первую производную к нулю y′ = 0 и находят критические точки, лежащие внутри
отрезка [а,b]. Далее вычисляют значения функции в этих точках и на концах отрезка [а, b], т. е. находят f (a) и f (b). Из сравнения значений функции в этих точках определяют наибольшее и наименьшее значение функции.
10.1. Найти наибольшее и наименьшее значение функ-
ции на отрезке: а) y = |
|
x |
|
, |
[− 2;2]; |
|||||||
1 + x2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
б) |
y = x + cos 2x, |
0; |
π |
|
; в) |
y = x3 + 3x2 −9x + 20 , [-6,2]. |
||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
||
Решение. а) Находим производную функции |
||||||||||||
y |
′ |
1 + x2 − 2x2 |
|
1 − x2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= (1 + x2 )2 |
= (1 + x2 )2 |
и приравниваем ее к нулю |
||||||||||
|
||||||||||||
x2 −1 = 0 .
Отсюда критические точки будут x = 1, x = −1. Поскольку критические точки лежат внутри интервала, то находим
значения функции в этих точках y(1) = 12 ; y(−1) = − 12 . Вычис-
195