Материал: Практикум по высшей математике. дифференциальное исчисление. Пантелеев И.Н
ляем |
значения |
функции на |
концах отрезка [−2,2] : |
|||||
y(−2) |
= − |
2 |
; |
y(2) = |
|
2 |
. |
|
|
5 |
|
||||||
|
5 |
|
|
|
|
|||
Теперь |
сравниваем значения |
функции в критических |
||||||
точках и в точках на концах отрезка. Из сравнения видно, что наибольшее значение функции будет y(1) = 12 , а наименьшее
y(−1) = − 12 . График функции на отрезке [-2;2] показан на рис. 2.28.
|
|
Рис. 2.28 |
б) Вычислим производную y′ =1 − 2sin 2x , приравняем |
||
ее к нулю 1 − 2sin 2x = 0 |
и находим критические точки, при- |
|
надлежащие отрезку 0; |
π |
. |
|
3 |
|
В данном случае имеем только одну критическую точку
x = 12π .
Вычисляем значение функции в критической точке и на концах отрезка
π |
|
π |
|
3 |
|
6 3 +π |
π |
|
2π −3 |
|
y 12 |
= |
12 |
+ |
2 |
= |
12 |
, y(0) =1, y 3 |
= |
6 |
. |
196
Сравнение найденных значений функции показывает, что
|
|
|
|
π |
|
|
π + 6 |
3 |
|
|
наибольшее значение в точке |
экстремума |
y |
12 |
|
= |
12 |
|
, |
||
|
π |
|
2π −3 |
|
|
|
|
|
|
|
наименьшее на конце отрезка |
y 3 |
= |
|
. |
График функ- |
|||||
6 |
||||||||||
ции на отрезке [0; π3 ] показан на рис. 2.29.
|
Pиc. 2.29 |
|
в) |
Вычисляем производную y′ = 3x2 + 6x −9 и, |
прирав- |
нивая |
ее к нулю, находим критические |
точки |
x2 + 2x −3 = 0, x1 =1, x2 = −3. Поскольку критические точки лежат внутри отрезка [−6,2] , вычисляем значения функции в критических точках y(1) =15, y(−3) = 47 . Находим значение функции на концах отрезка y(−6) = −34, y(2) = 22 .
Сравнивая вычисленные значения функции в критических точках и на границе отрезка, заключаем, что наибольшее значение находится в критической точке x = −3 и равно y(−3) = 47 , а наименьшее в граничной точке x = −6 и равно
у{-6) = -34 (рис. 2.30).
197
Рис. 2.30
10.2. Найти наибольшее и наименьшее значения функ-
ций:
а) f (x) = e−x22 ; б) ϕ(x) = sin 4 x + cos4 x ; в) f (x) = 3 x2 −1 .
а) Функция определена на всей числовой оси, а изменение аргумента х не ограничено каким-либо отрезком, поэтому следует исследовать значения функции при x ]− ∞;∞[.
− x2
Вычисляем производную f ′(x) = −xe 2 и, приравнивая
ее к нулю, находим критическую точку х = 0. При переходе через эту точку производная функции меняет знак с + на -, следовательно, x=0 точка максимума f(0) = 1. При x → ±∞ функция бесконечно убывает, но наименьшего значения не имеет (рис. 2.31).
Рис.2.31
198
б) Функция определена на всей числовой оси. Изменение аргумента не ограничено отрезком, поэтому рассмотрим значения функции при x ]− ∞;∞[.
Находим производную
′ |
3 |
x cos |
3 |
x − 4 cos |
3 |
x sin x |
и приравниваем ее к нулю |
ϕ (x) = 4sin |
|
|
|
2sin x cos x(sin 2 x − cos2 x) = 0 , откуда sin2xcos2x = 0, sin2x = 0,
cos2x=0, x = πn |
, x |
2 |
= π + πn . |
|
|
|
|||||
1 |
2 |
|
|
|
4 |
2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Подставляя найденные критические точки в функцию |
|||||||||||
находим, что при х = |
πт |
(n = |
0, ± 1, ± 2,...) функция имеет |
||||||||
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
единице, а при х = π (1 + 2п) |
||||
наибольшие значения |
равные |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|||
(n = 0, ± 1, ± 2,...) - наименьшие значения равные |
1 |
. |
|||||||||
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||
в) Функция задана и определена на всей числовой оси. |
|||||||||||
Исследуем значения функции при x ]− ∞;∞[. Найдем произ- |
|||||||||||
′ |
|
2 |
1 |
. В точке x = 0 производная не существу- |
|||||||
водную f (x) = |
3 3 |
|
x |
||||||||
ет. Значение функции при х = 0 равно -1. При x → ±∞ функ-
ция неограниченно возрастает. |
|
|
|
Следовательно, наименьшее |
значение |
функции |
будет |
f (0) = −1, а наибольшего значения |
функция |
не имеет |
(рис. |
2.32). |
|
|
|
Рис.2.32
199
2.11. Решение задач на максимум и минимум
При решении задач на максимум и минимум по условиям задачи следует составить функцию, приняв одну из переменных за основную и выразив все остальные переменные через нее.
Далее следует исследовать эту функцию на экстремум по искомой переменной, т. е. найти наибольшее или наименьшее значение полученной функции. Интервал изменения независимой переменной определяется из условий задачи.
11.1. Объем цилиндра V. Найти радиус основания, при котором цилиндр имеет наименьшую полную поверхность.
Решение. Полную поверхность цилиндра принимаем за
функцию. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S = Sосн + Sбок = 2πR2 + 2πRH = 2π(R2 + RH ) |
, |
где H - |
|||||||
высота цилиндра, R - |
радиус основания. |
Объем |
цилиндра |
||||||
V = πR2 H , отсюда Н = |
V |
. Исключая Н из выражения пол- |
|||||||
πR2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
V |
||||
|
|
|
|
2 |
|
||||
ной поверхности цилиндра, получим S = 2π R |
|
+ |
|
. |
|||||
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
πR |
|||
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
Вычисляя производную по R: S′ = 2π 2R − |
|
|
и при- |
||||||
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
πR2 |
|||
равнивая ее к нулю 2R − πVR2 = 0, находим, что минимум наи-
меньшей полной поверхности будет при радиусе R = 3 2Vπ .
Действительно, вторая производная при R = 3 V |
равна |
||||
|
|
|
|
2π |
|
|
|
2V |
|
|
|
S ′ = 2π 2 |
+ |
|
|
=12π > 0 . |
|
|
|
||||
|
|
πR3 |
|
|
|
То есть найденное значение радиуса определяет наименьшую полную поверхность.
200