Материал: Практикум по высшей математике. дифференциальное исчисление. Пантелеев И.Н

11.2. В данный шар вписать конус с наибольшим объе-

мом.

Решение. Объем конуса, вписанного в шар (рис. 2.33),

равен V = 13 πHr 2 , где Н - высота конуса, г - радиус основания.

Рис. 2.33

функцию, наибольшую его величину находим, исследуя эту функцию на экстремум:

VH′ = π3 (4HR −3H 2 ), 4HR −3H 2 = 0, H = 0, H = 43 R .

При Н = 0 функция, естественно, не может иметь наи-

большего объема. При Н = 43 R производная VH′ меняет знак с

плюса на минус, т. е. функция имеет максимум. Следовательно, наибольший объем конуса, вписанного в шар, при высоте

конуса H = 43 R где радиус шара R = 3 34Vπ .

201

B(−2 3;1) . Найти на данном эллипсе третью точку С такую,

чтобы площадь треугольника ABC была бы наибольшей. Решение. Обозначим координаты искомой точки С за x, у, тогда площадь треугольника по формуле

S = 12 [x1 ( y2 − y3 ) + x2 ( y3 − y1 ) + x3 ( y1 − y2 )] будет иметь вид S = 12 ( 3(1 − y) − 2 3( y + 2) + x(−2 −1)) =

При отрицательном значении y производная знака не меняет. При переходе через точку

202

11.4. Число 64 разложить на два таких множителя, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.

Решение. Обозначим множители за x и y тогда xy = 64.

Сумму квадратов обозначим за z = x2 + y 2 , z = x2 + 642 . x2

Найдем минимум функции:

Производная меняет знак с минуса на плюс при переходе через точку х = 8 (рис. 2.34), т. е. функция имеет минимум, следовательно, при x= 8, у = 8 сумма квадратов наименьшая.

Рис. 2.34

11.5. Из углов квадратного листа железа со стороной а нужно вырезать одинаковые квадраты так, чтобы, согнув лист по пунктирным линиям (рис. 2.35), получить коробку наибольшей вместимости. Какова должна быть сторона вырезанного квадрата?

Рис. 2.35

Решение. Если обозначить сторону вырезаемого квадрата через x, то сторона основания коробки будет равна a − 2x , а

203

высота - x. Объем коробки выразится функцией V = x(a −2x)2 ,

2.36). Следовательно, наибольшая вместимость коробки будет при стороне вырезаемых квадратов равной a6 .

Рис.7.36

11.6. Кусок угля массы m, лежащий на горизонтальной конвейерной ленте, должен быть сдвинут приложенной к нему силой (рис. 2.37). Под каким углом ϕ к горизонту следует

приложить эту силу, чтобы величина ее была бы наименьшей, если коэффициент трения угля по резине μ = 0,6 ?

Рис.2.37

Решение. Разложим силу F на горизонтальную и вертикальную составляющие: Fcosϕ и Fsinϕ . Fcosϕ -сдвигающая

сила. Прижимающую силу находим, как разность силы веса куска и вертикальной составляющей mg − F sinϕ , где g-

204

ускорение свободного падения. Согласно закону Кулона сдвигающая сила равна прижимающей, умноженной на коэффициент трения, т. е. F cosϕ = μ(mg − F sinϕ) . Отсюда

ϕ0; π . Поскольку y′′ = −cosϕ − μsinϕ < 0, при

2

ϕ= arctgμ , то знаменатель y принимает наибольшее значение,

асоответственно, сила - наименьшее, т. е. прилагать силу под углом ϕ наиболее выгодно.

Угол ϕ - называется углом трения и в нашем случае ра-

вен ϕ = arctg 0,6.

11.7. Сопротивление балки прямоугольного поперечного сечения на изгиб пропорционально произведению ширины этого сечения на квадрат его высоты.

Каковы должны быть размеры сечения балки, вырезанной из круглого бревна диаметром d, чтобы ее сопротивление на изгиб было наибольшим?

Решение. Обозначим высоту балки через h, ширину че-

рез b (рис. 2. 38).

Рис. 2.38

205