Материал: Практикум по высшей математике. векторная алгебра и аналитическая геометрия. Пантелеев И.Н

Зная координаты точек А и С, находим по формулам (2) координаты точки Е

х = 1+2 3 = 2; у = 1−31 = 0.

Далее по этим же формулам находим координаты точки D

2 = 2 +2 х, 0 = 2 +2 у, х = 2, у = −2.

2.5. В точках А(2,1), В(-1,3), С(-2,5) помещены соответственно массы 50, 20 и 30 г. Определить центр масс этой системы.

Решение. Для нахождения координат центра масс системы пользуемся формулами (6)

2.6. На концы однородного стержня длиной 50 см и весом 100 г насажены шары весом 20 и 80 г. Найти центр тяжести системы.

Решение. Пусть ось х проходит вдоль стержня, причем начало координат совпадает с центром шара весом 20 г. Координата центра тяжести шаров может быть найдена из

Координата центра тяжести стержня находится посередине стержня на расстоянии 25 см от начала координат. Полагая, что в этой точке х1 = 25см приложен вес стержня

m1 =100 г, а в точке х2 = 40 см вес шаров, по этой же формуле

находим центр тяжести системы

хС = 100 25 +100 40 = 32,5см. 100 +100

2.7. Проверить, лежат ли точки M1 (2,1)М2 (0,5), М3 (−1, 7)на одной прямой.

Решение. Воспользуемся формулой (4)

91

2(5 −7)+0(7 −1)−1(1−5)= −4 + 4 = 0.

Поскольку левая часть равенства тождественно равна нулю, то точки лежат на одной прямой.

2.8. Вычислить площадь пятиугольника с вершинами

M1 (2,3)М2 (−2, 2), М3 (−4, −1), М4 (−1, −5), М5 (4, −2).

Решение. Запишем формулу (5) для пятиугольника

=12 (4 +6)+(2 +8)+(20 −1)+(2 + 20)+(12 + 4) = 38,5кв. ед.

2.9.Найти координаты центра тяжести фермы (рис. 3.6), состоящей из однородных стержней.

Рис. 3.6

Решение. Поскольку стержни однородны, то масса mi каждого стержня пропорциональна его длине li , то есть mi = ρli , где ρ -линейная плотность.

Используя данные рис. 3.6, найдем массу каждого стержня и его центр тяжести.

92

3.3.Уравнения прямой линии. Геометрическое истолкование неравенства и системы неравенств первой степени

Прямой линии на плоскости соответствует уравнение первой степени с двумя неизвестными.

1°. Общее уравнение прямой

наклона прямой к положительному направлению оси Ox ,b - величина отрезка, отсекаемая прямой на оси Oy от начала координат (рис. 3.7).

93

Рис. 3.7

Пользуясь уравнением прямой (2) можно установить, как изменится это уравнение, если от данной прямой L перейти к прямой (рис. 3.8), ей симметричной.

При симметрии относительно оси Ox следует изменить знак коэффициента при х и свободного члена или изменить знак коэффициента при у. На рис. 3.8. эта линия обозначена цифрой 1.

При симметрии относительно оси Oy следует изменить

знак коэффициента при х. На рис. 3.8 это линия 2. При симметрии относительно начала координат следует изменить знак свободного члена. На рис. 3.8 это линия 3.

Рис. 3.8

94

здесь a, b - величины отрезков, которые прямая отсекает от осей координат (рис. 3.7).

4°. Уравнение прямой, проходящей через две данные

Здесь p - длина перпендикуляра, опущенного на прямую из начала координат, α - угол, отсчитываемый от положительного направления оси Ox , против часовой стрелки, до перпендикуляра p (рис. 3.7). Чтобы привести общее уравнение прямой (1) к нормальному виду, нужно общее уравнение прямой умножить на нормирующий множитель

взятый со знаком, противоположным знаку свободного члена С, а если С = 0, то знак может быть любой.

6°. Геометрическое истолкование неравенства первой степени. В общем случае неравенство первой степени Ax + By +C = 0 определяет полуплоскость, которая при С ≠ 0

устанавливается на основании знака С. Если при х = 0 и у = 0

знак С совпадает со смыслом неравенства, то полуплоскость, соответствующая ему включает начало координат; если же знак С противоречит неравенству, то соответствующая ему полуплоскость не включает начала координат. Если С = О, то следует ориентироваться на произвольно выбранную точку.

3.1. Написать уравнение прямой проходящей через точку A(3,4) и составляющей с Ох угол 45°.

Решение. Воспользуемся уравнением прямой с угловым коэффициентом (2). Угловой коэффициент

95