Материал: Практикум по высшей математике. векторная алгебра и аналитическая геометрия. Пантелеев И.Н

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Решая последнее уравнение, находим	y1 = 5, у2	= −1.
Таким образом, искомых точек на	прямой	две

М1 (5,5), М2 (5, −1).

1.4.Найти центр и радиус окружности, описанной

около треугольника с вершинами А(2,1), В(−3, 2),С(−1,1).

Решение. Обозначим координаты центра окружности О за х, у, а радиус за R, тогда по формуле (3) будем иметь

R2 = (x −2)2 +(y −1)2 , R2 = (x +3)2 +(y −2)2 , R2 = (x +1)2 +(y −1)2 .

Вычитая из первого третье уравнение, находим, что x = 12 .

Подставляя x = 12 во второе и третье и вычитая из второго

третье,	находим, что y = 13 . Подставляя	найденные		х,у в
	2
любое из трех уравнений, получаем, что R =		130	.
любое из трех уравнений, получаем, что R =		2	.
		2
1.5. Доказать, что четырехугольник с вершинами в
точках	A(1,5), В(−2,1),С(1, −2), и D (10, 2)			есть

параллелограмм.

Решение. Известно, что четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно равны, есть параллелограмм.

Докажем равенство противоположных сторон АВ и CD (ВС и DA) Найдем длины этих сторон

dAB = (xB − xA )2 +(yB − yA )2 = (−2 −1)2 +(1−5)2 = 5,

dCD = (xD − xC )2 +(yD − yC )2 = 32 +42 = 5.

Следовательно, АВ = CD.

Аналогично:

dBC = (7 +2)2 +(−2 −1)2 = 3 10,

dDA = (1−10)2 +(5 −2)2 = 3 10, то есть ВС = DA.

Поскольку противоположные стороны равны, то четырехугольник ABCD есть параллелограмм, что и требовалось доказать.

3.2. Деление отрезка в данном отношении. Площадь треугольника и многоугольника. Центр тяжести

1°. Координаты точки М(х,у), делящей отрезок

M1M2 в отношении М1М = λ,(рис. 3.1) находятся по формулам ММ2

x =	x1 +λx2	; у =	у1 +λу2	(1)
	1+λ		1+λ

Если точка М делит отрезок М1М2 пополам, то λ =1 и координаты равны

х =

х1 + х2

;

y =

y1 + y2

(2)

Если λ — число отрицательное, то точка М находится

на продолжении отрезка M1M2 и деление называется

внешним.

2°.

Площадь

треугольника

вершинами

M1 (x1, у1 )М2 (х2 , у2 )и М3 (х3 , у3 ) вычисляется по формуле

S = 1

− y

+ x

− y

+ x

y − y

(3)

1 (

3 )

2 ( 3

1 )

( 1

2 )

Если,

следуя

по

контуру

треугольника

от

M1 к M2 и к M3 , площадь обходится против часовой стрелки,

то число S положительное, в противном случае — отрицательное. Поскольку площадь треугольника — величина положительная, то правая часть формулы (3) берется по абсолютной величине.

Если площадь треугольника равна нулю, то из формулы

(3) следует равенство

х1 (у2 − у3 )+ х2 (у3 − у1 )+ х3 (у1 − у2 )= 0,

(4)

которое

является

условием

того,

что

три точки

M1 , M2 и M3 расположены на одной прямой.

3°.

Площадь

многоугольника

вершинами

M1 (x1, у1 ), М2 (х2 , у2 ),...., Мn (хn , уn ) определяется по формуле

S =

.... +

(5)

4°.

Если

точках

M1 (x1, у1 ), М2 (х2 , у2 ),

М3 (х3 , у3 )

помещены массы

m ,

соответственно,

то координаты

центра тяжести этих масс находятся по формулам

x =

m1x1 +m2 x2 +m3 x3

;

y =

m1 y1 +m2 y2 +m3 y3

(6)

+m2 +m3

m1 +m2 +m3

Отсюда координаты центра тяжести площади

однородного треугольника определяются по формулам

x1 + x2 + x3

;

y1 + y2 + y3

(7)

Координаты центра тяжести системы, состоящей из п

материальных

точек

M1 (x1, у1 ), М2 (х2 , у2 ),...., Мn (хn , уn ),

соответственно с массами m1, m2 ,....mn , определяются по формулам

x =		m1x1 +m2 x2 +...+mn xn		; y	c	=	m1 y1 +m2 y2 +...+mn yn	(8)

c		m1 +m2 +... +mn					m1 +m2 +... +mn

	2.1. Найти точку, делящую отрезок между точками
M1 (−1,8)иМ2 (3,3)в отношении λ = 3 .
						2
Решение. Для отыскания координат точки, делящей
отрезок в отношении λ = 3			, воспользуемся формулами (1)
	2
			88

	−1+	3	3		5		8 +	3	3
х =		2		=		, у =		2		= 5
		3			7			3

1+		2				1+ 2
2.2. Найти точку С, делящую отрезок между точками
А(-2) и В(4) на оси в отношении						λ = −2.

Решение. Считаем, что точки A и B расположены на оси х, тогда для отыскания точки С можно воспользоваться

первой из формул (1)	х =	−1−2 4	=10
2.3. В		1−2
2.3. В	треугольнике			с	вершинами
А(−2, 0), В(6, 6),С(1, −4)		определить		длину	медианы AD,

длину биссектрисы АЕ, вычислить площадь треугольника и координаты центра тяжести, полагая его однородным.

Решение. Так как медиана AD делит отрезок ВС пополам (рис. 3.4), то λ =1 и координаты точки D находятся по формулам (2)

хD = 6 2+1 = 72 , уD = 6 −2 4 =1.

Отсюда длина медианы	AD = (7 / 2 +2)2 +(1−0)2 =	5	5.
		2

Биссектриса АЕ делит сторону ВС на отрезки пропорциональные прилежащим сторонам, т. е. ACAB = ECBE = λ.

Рис. 3.4 89

Найдем длины отрезков АВ и АС

AB = (6 +2)2 +62 =10; AC = (1+ 2)2 +(−4)2 = 5.

Отсюда λ=2 и координаты точки Е

хЕ = 16++22 = 83 ; уЕ = 61−+224 = − 23 .

Длина биссектрисы АЕ

АЕ	=	8	+2	2		−	2	2		10	2.
АЕ	=		+2		+	−			=		2.
		3					3			3

Площадь треугольника находим по формуле (3), полагая координаты точки Аза х1, у1, точкиВза х2 , у2 ,С −за х3 , у3

S =	1	−2	(6 +4)+6	(−4 −0)+1(0 −6)	= 25 квед. .

	2

Координаты центра тяжести находим по формулам (7)

х =	−2 +6 +1	=	5	; y =	0 +6 −4	=	2 .
	3		3		3		3

2.4.Даны три последовательные вершины

параллелограмма А(1,1), В(2, 2),С(3, −1). Найти четвертую

вершину.

Решение. Диагонали параллелограмма в точке пересечения Е делятся пополам (рис. 3.5).

Рис. 3.5.

Источник: https://studfile.net/preview/16565730/

Смотрите также:






Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_-___-~1
_1-тема-СтрМетал
_10_Эмиль Золя для эл версии
_1966(~1