Материал: Практикум по высшей математике. векторная алгебра и аналитическая геометрия. Пантелеев И.Н

k = tgϕ = tg 45o =1. Подставляя в уравнение (2) координаты

уравнения прямых, симметричных относительно осей и начала координат. Сделать чертеж.

Решение. Для случая симметрии относительно оси Ох

На рис. 3.9 эти линии, соответственно, обозначены цифрами 1,2,3.

Рис. 3.9

3.3. Даны точки О(0,0) и А(4,0). На отрезке ОА построен параллелограмм, диагонали которого пересекаются в точке В(0,3).

Написать уравнения сторон и диагоналей параллелограмма.

Решение. Поскольку точка В, точка пересечения диагоналей параллелограмма, то, проводя из точки О и А прямые через точку В и откладывая от нее отрезки равные ОВ

96

и АВ, получим две другие вершины параллелограмма В и С

(рис. 3.10).

Рис. 3.10

Сторона параллелограмма ОА совпадает с осью Ох, а диагональ OD с осью Оу, следовательно их уравнения будут y=0, х=0. Сторона CD параллельна оси Ох и отсекает на оси Оу отрезок равный 6 единицам, следовательно ее уравнение будет

у = 6.

Диагональ AC и сторона AD отсекают на координатных осях отрезки равные а=4, b=3, и a=4, b=6 единицам, подставляя которые в уравнение прямой в отрезках на осях (3), получим

4x + 3y =1, 4x + 6y =1

или в общем виде 3x +4 y −12 = 0 и 3x +2 y −12 = 0.

Сторона ОС проходит через начало координат и имеет уравнение y = kx, где угловой коэффициент

3.4. Написать уравнение прямой, проходящей через точку А(4;2) и отсекающей от координатного угла треугольник площадью, равной 2 кв. единицам.

97

Решение. Пусть прямая, проходящая через точку А, отсекает на координатных осях отрезки a и b (рис. 3.11), тогда

уравнение прямой примет вид ax + −yb =1.

Рис. 3.11

Так как прямая проходит через точку А, то ее координаты

Таким образом, прямых удовлетворяющих условию, две.

3.5. В треугольнике с вершинами А(-2;0), В(5;3 ), С(1;-1) найти уравнение стороны ВС и медианы AD.

Решение. Пользуясь уравнением прямой, проходящей через две данные точки (4), находим уравнение стороны ВС

1х−−55 = −y1−−33 или х− y −2 = 0.

98

Медиана делит противоположную сторону пополам,

3.7. Составить уравнение прямой, проходящей через точки A(3;4) и B(3;8).

Решение. Используя уравнение прямой, проходящей через две точки (4), получим 8y −−44 = 3x −−33 . Данное уравнение

имеет смысл, если х-3 = 0. Итак, уравнение прямой есть х = 3. Это прямая, параллельная оси Оу и отсекающая по оси х три единицы.

3.8. Найти полуплоскости, соответствующие неравенствам:

a) x −3y +2 < 0; б) 2х+ у+5 > 0;в) 4х−3у ≥ 0.

Решение. а) Так как свободный член не удовлетворяет неравенству при x = 0 и y = 0, то определяемая неравенством полуплоскость не содержит начала координат. Штриховка

99

указывается направлением от прямой х−3у+2 = 0 в сторону противоположную началу координат (рис. 3.12).

Рис. 3.12

б) Поскольку при x = 0, y = 0 знак свободного члена не нарушает неравенсвтво, то соответствующая полуплоскость от прямой 2х+ у+5 = 0 включает начало координат.

в) Изобразим прямую на рис. 3.12. Для определения полуплоскости возьмем произвольную точку с координатами М(0;1), тогда получим -3 > 0. Поскольку знак неравенства показывает, что искомая полуплоскость не включает выбранной точки М, то штриховка от прямой должна быть направлена в сторону, противоположную точке М. Следует заметить, что в данном случае полуплоскость включает и точки граничной прямой.

3.9. Найти области, соответствующие неравенствам:

соответствующие заданным неравенствам (рис. 3.13). Прямые параллельны. Полагая х = 0, y = 0, строим полуплоскости по знаку свободного члена. В зависимости от сочетаний знаков