Материал: Практикум по высшей математике. векторная алгебра и аналитическая геометрия. Пантелеев И.Н

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

включается в искомую область; б) при одинаковых знаках в системе общая часть совпадает с полуплоскостью, которая не включает другой граничной прямой, то есть геометрическим изображением служит полуплоскость х−2 у−3 > 0 (рис. 3.14);

в) в данном случае полуплоскости не имеют никакого пересечения, то есть общей области вовсе не существует (рис. 3.15).

Рис. 3.13

Рис. 3.14

Рис.3.15

3.10. Построить область, координаты точек которой

удовлетворяют системе неравенств у > 2x +4,

х > −5,

x

+

y

≤1.

 

3

 

 

 

5

 

 

Решение. На плоскости Оху строим сначала прямую

y = 2x +4 . Для этого

полагаем

х = 0, у = 0,

находим

точки

пересечения прямой

с осями

координат

y = 4, 4 < x = −2 и

проводим через эти точки прямую (рис. 3.16). Неравенство у > 2x +4 будет представлять область, координаты точек

которой расположены выше построенной прямой, причем сама

101

прямая в искомую область не включается. Неравенство x > −5 представляет область расположенную правее прямой x = −5 . Последнее неравенство напоминает уравнение прямой в отрезках на осях.

Рис. 3. 16

Откладывая по осям Ох, Оу точки а = 5 и b = 3 и проводя через них прямую, находим, что область удовлетворяющая этому неравенству расположена ниже прямой. Из построений видно, что искомая область представляет треугольник ABC, где отрезок АВ принадлежит области.

3.11. Найти область, координаты точек которой удовлетворяют системе неравенств:

2x − y +4 > 0,

3х− у+4 ≥ 0,

 

a)

x < 0;

б) x + y −2 ≥ 0,

 

x −2 y −6 > 0.

 

 

Решение. а) Поскольку из первого неравенства при х=0, y = 0 4 > 0, то полуплоскость включает начало координат

(рис. 3.17).

102

Рис. 3.17

Неравенству х < 0 соответствуют все точки левой полуплоскости. Решением является общая часть или

пересечение

этих полуплоскостей, ограниченная прямыми

2x − y +4 = 0,

х = 0 пересекающимися под углом α .

б) При х = 0, у = 0 из первого неравенства следует, что полуплоскость включает начало координат (рис. 3.18); из второго - следует, что полуплоскость не включает начало координат; из третьего, что не включает. Следовательно, имеются лишь три изолированных пересечения двух полуплоскостей, обозначаемых, соответственно, углами α, β,γ между прямыми

3x − y +4 = 0, х+ у−2 = 0 и х−2 у−6 = 0

Рис.3.18

103

3.4. Задачи на прямую линию

1°. Точка пересечения двух прямых. Пусть прямые заданы уравнениями

 

 

Ах+ В у+С = 0; A x + B y +C

2

= 0 .

 

 

(1)

 

 

1

1

 

1

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Координаты точки пересечения находятся из решения

этой системы

 

 

C

B −C B

 

 

 

A C − AC

 

 

 

 

 

 

 

 

x =

 

 

y =

2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

1

2

;

 

2

1

1

 

.

 

 

(2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A B − A B

 

 

 

A B − A B

 

 

 

 

 

1

2

2

1

 

 

 

 

 

1

2

 

2

 

1

 

 

 

 

 

При этом возможны следующие случаи:

 

 

a) A B − A B ≠ 0 или

А1

 

≠

В1

 

- прямые пересекаются в

 

 

 

1

2

2

1

 

 

А2

 

В2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

определенной точке.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А1

 

В1

≠ С1

 

б) A B − A B = 0 и С В −С В ≠ 0 или

=

-

 

 

1

2

2

1

 

2

1

 

 

1

2

 

 

 

 

А2 В2

С2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

прямые параллельны, точек пересечения нет.

в) A B − A B = 0 и С В −С В = 0 или

А1

=

В1

=

С1

-

 

 

 

1

2

2

1

2

1

1

2

А2

 

В2

 

С2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

обе прямые сливаются в одну, система уравнений сводится к одному уравнению, точек пересечения бесчисленное множество.

2°. Под углом между двумя прямыми (рис. 3.19)

(L1 ) y = k1x +b1; (L2 ) y = k2 x +b2 ,

(3)

понимают угол ϕ , отсчитываемый от прямой L1 против часовой стрелки, до прямой L2

tgϕ =

k2 −k1

(4)

 

 

1+k k

2

 

 

1

 

104

Рис. 3.19

Если прямые заданы общими уравнениями (1), то формула (4) принимает вид

tgϕ =

A1B2 − A2 B1

.

 

 

(5)

A A + B B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

1

2

 

 

 

 

 

Условие параллельности прямых

 

 

k

 

= k

2

или

 

 

А1

 

=

В1

.

(6)

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

А2

 

В2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Условие перпендикулярности прямых

 

k = −

1

 

 

или

A A + B B = 0.

(7)

 

 

1

 

k2

 

 

 

 

1

2

 

1

2

 

3°. Уравнение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

пучка

 

прямых.

Пучком

прямых,

проходящих через данную точку M (x0 , y0 ), называют совокупность всех прямых, проходящих через эту точку

y − y0 = k (x − x0 ).

(8)

Точка M (x0 , y0 ) называется центром пучка. Угловой

коэффициент k в уравнении пучка прямых неопределен. Уравнение пучка прямых, проходящих через точку

пересечения двух данных прямых (1), имеет вид

A1x + B1 y +C1 +λ(A2 x + B2 y +C2 )= 0.

(9)

Здесь параметр λ неопределен.

 

4°. Расстояние от данной точки до данной

прямой.

Чтобы найти расстояние от точки M1 (x1, y1 ) до прямой, нужно в левую часть нормального уравнения прямой вместо текущих

105

Источник: https://studfile.net/preview/16565730/

Смотрите также:

Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_-___-~1
_1-тема-СтрМетал
_10_Эмиль Золя для эл версии
_1966(~1