Документ: Практикум по высшей математике. векторная алгебра и аналитическая геометрия. Пантелеев И.Н, страницы 106-110

координат подставить координаты точки M1 и взять абсолютную величину получившегося числа

d =		x1 cosα + y1 sinα − p		.	(10)

Если прямая задана общим уравнением, то формула (10) принимает вид

d =

Ax1 + By1 +C

.

(11)

A2 + B2

5°. Уравнения биссектрис углов между прямыми (1)

A1x + B1 y +C1

= ±

A2 x + B2 y +C2

.

(12)

A2 + B2

A2

+ B2

1

2

6°. Из уравнения прямой проходящей через две точки

следует условие

расположения

трех точек

M1 (x1, y1 ),

M2 (x2 , y2 ), M3 (x3 , y3 )

одной прямой

y3 − y1

=

x3 − x1

.

(13)

y

2

− y

x

− x

1

2

1

4.1. Написать уравнения прямых проходящих через

точку А(-3,4) параллельно и перпендикулярно к прямой

2x − y −3 = 0 .

Решение. Воспользуемся уравнением пучка прямых (8) и запишем уравнение пучка прямых с центром пучка в точке А

y −4 = k (x +3).

Приводим уравнение прямой к уравнению прямой с угловым коэффициентом у = 2х−3, отсюда угловой

коэффициент прямой k = 2. Если прямые параллельны, то их угловые коэффициенты равны (6). Выбирая из уравнения пучка прямую с угловым коэффициентом k = 2 находим уравнение прямой параллельной данной

2x − y +10 = 0.

Используя условие перпендикулярности прямых (7), находим угловой коэффициент перпендикулярной прямой

106

k = − 12 . Подставляя этот коэффициент в уравнение пучка,

получим уравнение прямой перпендикулярной данной x +2 y −5 = 0.

4.2. Найти прямую, параллельную прямым 2x + y −2 = 0 и2x + y −5 = 0, расположенную между ними и

делящую расстояние между ними в отношении 1:5.

Решение. Возьмем на первой прямой точку А, абсцисса которой равна, например, нулю. Тогда ордината точки А из уравнения прямой равна 2. Проведем из этой точки перпендикуляр до пересечения со второй прямой в точке В

(рис. 2.20).

Рис .3.20	k = −2 ,
Угловой коэффициент прямой равен	k = −2 ,
следовательно, угловой коэффициент перпендикуляра kAB =		1 .
		2

Подставляя его и координаты точки в уравнение пучка прямых

(8), находим уравнение перпендикуляра	y −2 =	1	(x −0) или
		2

x −2 y +4 = 0.

Решая уравнение перпендикуляра совместно с уравнением второй прямой, находим точку их пересечения

6 13

B 5 , 5 .

107

Пусть точка С делит отрезок АВ в отношении λ = 15 ,

тогда ее координаты

x =	x1 +λx2	=	0 + 15 56	= 0, 2; y =		y1+λy2	=	2 + 15	135	= 2,1.
			1			1+λ
	1+λ						1
			1+ 5				1+ 5
Так как искомая прямая параллельна данным прямым,
то ее угловой			коэффициент		k = −2 .		Подставляя его и

координаты точки С в уравнение пучка прямых, находим уравнение искомой прямой y −2,1 = −2(x −0, 2) или

2x + y −2,5 = 0.

4.3. Определить вершины и углы треугольника, стороны которого заданы уравнениями x −3y −3 = 0, 7x − y +19 = 0, 3x + y +1 = 0.

Решение. Координаты вершин треугольника А,В,С являются точками пересечения прямых и находятся из совместного решения систем уравнений

		= 0,		x −3y −3 = 0,			7x − y +19 = 0,
x −3y −3

	7x − y +19		= 0;		3x + y +1	= 0;	3x + y +1 = 0;

Обозначим решение первой системы за координаты точки А(-3;-2), второй – В(0;1) и третьей - С(-2;5). Из построения +ABC (рис. 3.21) видно, что прямой АВ соответствует первое уравнение, прямой АС - второе и прямой ВС - третье.

При определении угла А пользуемся формулой (5), полагая за A1, B1 коэффициенты при переменных в уравнении

прямой АВ, а за A2 , B2 коэффициенты в уравнении прямой АС.

108

	Рис. 3.21							Рис. 3.22
		1(−1)−7 (−3)
	tgA =					= 2, A = arctg 2.
	tgA =	1 7 +(−3)(−1)				= 2, A = arctg 2.
При	определении угла						В	за A , B		формуле (5)
								2	2
принимаем коэффициенты в уравнении прямой ВС
			1 1−3(−3)					π
	tgB =				= ∞,			B = 2 .
	tgB =		1 3 +(−3) 1		= ∞,			B = 2 .
Так как сумма углов в треугольнике равна π , то угол
C = π −arctg2 = arctg				1 .
2				2
4.4. Найти точку пересечения медиан и точку
пересечения высот треугольника,							вершины		которого А(1;4),
B(-9;-8),	С(-2; 16).			Написать				уравнение		биссектрисы

внутреннего угла В.

Решение. Медианы пересекаются в одной точке, делящей их в отношении 1:2 от противоположной стороны, которую они делят пополам. Построим треугольник (рис. 3.22) и проведем медиану из точки С. Координаты точки D будут

xD =

xA + xB

=

7 −9

= −1; yD

=

yA + yB

= 3 −8

= −2.

2

С

2

D

2

Зная

координаты точек

и

отношение

λ =

DE

= 1

,

находим координаты точки пересечения медиан

EC

2

−1+ 1

+ 1

x

D

+λx

(−2)

4

y

D

+λy

−2

(16)

xE =

C

=

2

= −

; yE

=

C

=

2

= 4.

1+λ

1

3

1+λ

1

1+

2

109

Пользуясь уравнением прямой, проходящей через две

точки, запишем уравнения сторон АВ и ВС

y − yA

=

x − xA

,

y −4

=

x −7

,

y =

3 x −

5 ,

−9 −7

yB − yA

xB − xA

−8 −4

4

y − yB

=

x − xB

,

y +8

=

x +9

,

y =

24 x +160 .

16 +8

−2 +9

y

− y

B

x

− x

B

7

C

Угловые коэффициенты перпендикуляров к этим

сторонам находим по формулам (7)

kAB = − 4

,

kBC = −

7

.

3

24

Подставляя

найденные

угловые

коэффициенты и

координаты точек С и А в уравнение пучка прямых (8), находим перпендикуляры к прямой АВ и ВС

y −16 = −	4	(x +2)	или 4x +3y −40 = 0,
	3
y −4 = −	7	(x −7)	или 7x +24 y −145 = 0.
y −4 = −		(x −7)	или 7x +24 y −145 = 0.
24
Решая эти уравнения			высот совместно, находим

координаты точки их пересечения (7;4), а это координаты

точки А, т. е. угол А равен				π и треугольник прямоугольный.
				2
Запишем уравнения сторон АВ и ВС в общем виде:
		3x −4 y −5 = 0, 24x −7 y +160 = 0.
Биссектрису BF угла В находим по формуле (12)
	3x −4 y −5 =		24x −7 y +160 ,		9x +13y +185 = 0.
		9 +16		576 +49
4.5. Составить уравнение прямой, параллельной
прямой 3x +4 y −7 = 0			и удаленной от точки А(3;-1)			на три
единицы.
Решение.		Найдем		угловой	коэффициент	прямой
y = − 3 x +	7 ,	k = − 3 .	Воспользовавшись уравнением (8),
4	4	4

проведем через точку А прямую параллельную данной прямой

110

Материал: Практикум по высшей математике. векторная алгебра и аналитическая геометрия. Пантелеев И.Н

Смотрите также: