Материал: Практикум по высшей математике. векторная алгебра и аналитическая геометрия. Пантелеев И.Н

угол между ними.

Вариант 3

1.В параллелограмме АВСD даны вершины А (-1; 3), В (4; 6)

иС (1;-5). Составить уравнения его сторон.

2.Какая зависимость существует между а и b , если угол

наклона прямой ax + by =1 к оси OX равен 45° ?

образованный этим перпендикуляром с осью ОУ.

4. Дан треугольник с вершинами: А (-3; -5), В (9; 1) и С (-3; 5). Определить координаты точки пересечения и острый угол между медианой, проведенной из вершины А, и высотой, проведенной из вершины С на сторону АВ.

201

5.Плоскость α проходит через точки А (-1; 10; -3), (1; 1; -5) и

С(5; 4; -2), плоскость β проходит через точку М (2; -3; -9) и отсекает на осях ОХ и ОУ отрезки а = 18, b = 27. Показать, что плоскости параллельны, и найти расстояние между ними.

6.Написать уравнение плоскости, проходящей через

точку М (-3; 1; 2) параллельно векторам a = {2; 5; −1} и b {4; 1; 2}. Найти угол между построенной плоскостью и плоскостью 18x +8y +11z −10 = 0 .

7.Нормаль к плоскости составляет с координатными

9. Найти острый угол между прямыми, одна из которых задана уравнением x +4 2 = y−−14 = z−−109 , другая проходит через точки А (2; -5; 3) и В (13; 2; -5).

x = 5 −3t,

10. При каких значениях В и n прямая y = 9 + 4t,

z = 2 + nt

перпендикулярна плоскости 6x + By −10z +9 = 0 ? Составить уравнение прямой, проходящей через точку

11. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М

2x +3y + z −6 = 0,

(-4; -7; 1) и параллельно прямой .

4x −5y − z + 2 = 0

202

Вариант 4

1.В треугольнике АBС известны вершины А (-3; -4), В (1; -2) и С (7; -2). Составить уравнения средней линии, параллельной АС , и медианы, проведенной из вершины В.

2.Составить уравнение прямой, если известно, что она

x +3y − 2 = 0 (AB), 2x + y +5 = 0 (AC), 3x − 4 = 0 (BC) .

Найти уравнение высоты, опущенной из вершины B на сторону АС и её длину.

4.Через начало координат провести прямые, образующие с прямой 5x −6y + 2 = 0 углы, тангенсы которых равны ± 76 .

5.Написать уравнение плоскости, параллельной оси ОХ и

6.При каком значении l плоскости α и β будут перпендикулярны? Плоскость α проходит через точки К (-

1; 32 ; 0), М (2; -1; 1), N (8; 1; -1). Плоскость β задана уравнением 3x +ly − 2z +1 = 0 . При l = 3 найти острый угол между плоскостями α и β.

7.Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М

параллельна плоскости 7x −3y +8z −10 = 0 . При m = -2

найти точку пересечения прямой с плоскостью.

Вариант 5

1.Даны вершины треугольника: А (4; 6), В (-4; 0) и С (-1; -4). Составить уравнения высоты, опущенной из вершины А на сторону BС, и медианы, проведенной из вершины С.

2.Найти площадь треугольника, заключенного между осями координат и прямой 2x −5y + 20 = 0 .

3.Дана прямая 5x +12y + 2 = 0 . Найти уравнение прямой,

параллельной данной и отстоящей от неё на расстоянии 3 единиц.

4. Найти острый угол между прямой 9 x + 3 y − 7 = 0 и прямой, проходящей через точки А (1; -1) и В (5; 7).

5.На оси ОX найти точку, удаленную от плоскости, проходящей через точку М (1; 8; -1) перпендикулярно вектору N = {2; −1; − 2}, на расстояние d = 23 .

6.Найти угол между плоскостями α и β, где α проходит через точки A (1; 12 ; 12 ), В (2; 0; 1) параллельно оси OZ , а

β - через точки С (2; 2; 1), D (6; 1; 0) и E (-1; -1; 3).

204

7.Составить уравнение плоскости, проходящей через начало

11.Доказать, что четырехугольник с вершинами A (3; 2; -3), B (2; 4; 6), C (8; 3; 4), D (9; 1; -5) есть параллелограмм. Найти длины его сторон.

Вариант 6

1.Даны вершин треугольника: А (2; -1), В (4; 5) и С (-3; 2).Составить уравнения высоты, опущенной из вершины В на сторону АС, в медианы, проведенной из вершины А.

2.Через точку А(1; 2) провести прямую, отсекающую на положительных полуосях координат равные отрезки.

3.Найти длину перпендикуляра, проведенного из начала

4.Проверить, что прямые y = 3x −1, x −7 y = 7 и x + y −7 = 0 служат сторонами равнобедренного треугольника.

5.Нормаль к плоскости составляет с координатными осями ОY и OZ углы β = 60° и γ = 45°, а с осью ОХ - тупой угол. Составить уравнение плоскости при условии, что

205