Материал: Ряды. учебное пособие. Ускова Н.Б., Бондарев А.В

1

1

e i nx

1

1

e

1

cn

e

i nx

dx

i n

2

2 ni

2 ni

0

1 n

0

1

i

1

1

1

cos n isin n 1

i , n 0;

c0

dx

.

2 n

2 n

2

2

0

1

1 n 1

1

i x

e

i x

e

3i x

e

3i x

f x

i

n

ei nx

i

e

...

2 n

2

3

3

2

n 0

В точках разрыва функции

f x

сумма ряда Фурье равна:

S 0

0 1

1

,

S 1

1 1

1.

2

2

2

3.7. Интеграл Фурье

Пусть

функция

f x

удовлетворяет

на отрезке

l;l

1

l

an

f t cos ntdt, n 0,1,2,... ,

(3.31)

l

l

1

l

bn

f t sin ntdt , n 0,1,2,... .

(3.32)

l

Говорят, что функция f x

абсолютно интегрируема на всей

числовой оси.

Подставляя в ряд (3.30) выражения для коэффициентов an

и bn из формул (3.31) и (3.32), получим:

1

l

1

l

f x

f t dt

f t cos nt cos nx sin nt sin nx dt

2l

l

l

n 1 l

1

l

1

l

f t dt

f t cos n t x dt.

(3.33)

2l

l

l

n 1

l

1

l

1

l

1

M

f t dt

f t

dt

f t

dt

0.

2l

2l

2l

2l

l

l

Рассмотрим второе слагаемое в равенстве (3.33). Величина

n

n

принимает значения

,

2

,

3

, …, об-

l

1

l

2

l

3

l

стью n

n

n 1 n . При этом n 0

при l .

l

56

1

f x

f t cos t x dt

d

0

1

f t cos t cos x sin t sin x dt d

0

1

1

f t cos tdt cos x f t sin tdt sin x

d ,

0

f x A cos x B sin x d ,

(3.35)

0

где

1

A

f t cos tdt ,

1

B

f t sin tdt .

разложение функции

f x

на гармоники с непрерывно меняю-

щейся от 0 до ∞ частотой ω.

Если функция

f x

– четная, то интеграл Фурье (3.35)

принимает вид:

58

2

f x A cos xd , где A

f t cos tdt . (3.36)

0

f x – нечетная, то

0

Если функция

2

f x B sin xd , где B

f t sin tdt . (3.37)

0

0

Если функция

f x задана лишь на

промежутке 0; ,

F

2

f t cos tdt,

(3.38)

тогда

0

2

f x

F

cos xd .

(3.39)

0

Функция F называется

косинус-преобразованием

Фурье для функции f x .

В случае нечетной функции

f x :

2

f

t sin tdt ,

(3.40)

тогда

0

2

f x

sin xd .

(3.41)

0

59