Материал: Ряды. учебное пособие. Ускова Н.Б., Бондарев А.В
Функция называется синус-преобразованием Фурье
для функции f x .
60
3.9. Интеграл Фурье в комплексной форме
В интеграле Фурье (3.34) в скобкахстоит четная функция от ω, следовательно, она определена и при отрицательных значениях ω. Следовательно, формулу (3.34) можно переписать так:
|
1 |
|
|
|
|
|
|
f x |
|
|
f t cos t x dt |
|
|||
|
|
|
|
(3.42) |
|||
|
|
||||||
2 |
d . |
||||||
|
|
|
|
|
|
||
Далее рассмотрим следующее выражение:
|
|
|
|
|
|
|
|
f t sin t x dt |
|
||
|
|
|
(3.43) |
||
|
d 0. |
||||
|
|
|
|
||
Выражение, стоящее слева, тождественно равно нулю потому, что функция от ω, стоящая в скобках, есть нечетная функция, а интеграл от нечетной функции в пределах, симметричных относительно нуля, равен нулю.
Умножим члены равенства (3.43) на |
|
i |
и сложим с со- |
|||||||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||
ответствующими частями равенства (3.42). Тогда получим: |
|
|||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f x |
2 |
f t cos t x isin t x dt |
, |
|||||||||||||
|
d |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
или, применяя формулу Эйлера: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
i t x |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
f x 2 |
f t e |
|
dt |
|
(3.44) |
||||||||
|
|
|
|
|
d . |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Правая часть в формуле (3.44) называвется интегралом Фурье в комплексной форме для функции f x .
Перепишем формулу (3.44) в следующем виде:
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
f x |
f t e |
i t |
|
i x |
|
|||
|
|
|
dt |
|
|
d , |
||
|
|
|
||||||
2 |
|
e |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или
61
f x C ei xd , |
(3.45) |
|||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
C |
|
f t e |
i t |
dt . |
(3.46) |
|
2 |
|
|||||
Здесь ω называется волновым числом, оно принимает все значения от –∞ до +∞. Спектр волновых чисел называется не-
прерывным спектром. Функцию C называют спектральной
плотностью или спектральной функцией.
Равенства (3.45) и (3.46) можно переписать в симметричной форме:
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
F |
|
|
|
|
|
|
f t e |
i t |
dt , |
(3.47) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
f x |
|
|
|
|
F |
|
e |
i x |
d . |
(3.48) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2 |
|
|
|
||||||||||||||||
Функция F , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
определяемая формулой (3.47), называ- |
|||||||||||||||||||
ется преобразованием |
Фурье |
для |
функции |
f x . Функция |
|||||||||||||||
f x , определяемая формулой (3.48), называеся обратным пре-
образованием Фурье для функции F .
Преобразование Фурье (3.47) связано с косинус- и синуспреобразованиями Фурье (3.38) и (3.40) формулой:
F F i .
3.10. Ряд Фурье по ортогоналной системе функций
Бесконечная система функций 1 x , 2 x ,..., n x ,... на-
зывается ортогональной на отрезке a,b , если при любых n k
62
выполняеся равенство
b
|
|
|
|
|
n x k x dx 0. |
|
|
|
(3.49) |
|||||||||
При этом |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
b |
n |
|
2 dx 0. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Пример 1. Система функций 1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, …, |
|||||||||||||||||
cos nx, sin nx, … ортогональна на отрезке ; . |
|
|
|
|||||||||||||||
|
Пример 2. Система функций 1, |
cos |
|
x, |
sin |
|
x, cos |
2 |
x , |
|||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
|
2 |
|
|
n |
|
|
n |
|
|
l |
|
l |
|
l |
||||
sin |
x, …, |
cos |
x, sin |
x, … |
ортогональна на |
отрезке |
||||||||||||
|
l |
|
l |
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
l;l .
Пусть функция f x , определенная на отрезке a;b , та-
кова, что она разагается в ряд по функциям ортогональной системы (3.49), который сходится кданной функции на отрезке
a;b :
|
|
f x cn n x . |
(3.50) |
n 0 |
|
Найдем коэффициенты cn . Умножим обе части равенства
(3.50) на k x и проинтегрируем в пределах от a до b. Учиты-
вая равенства (3.49), получим
b |
b |
f x k x dx ck k2 x dx,
a |
a |
откуда
63
b
c |
|
f x k x dx |
. |
(3.51) |
|
a |
|||||
b |
|||||
k |
|
|
|
||
|
|
k2 x dx |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
Коэффициенты ck, вычисленные по формулам (3.51), на- |
|||||
зываются коэффициентами Фурье функции |
f x по системе |
||||
ортогонаьных функций k x . Ряд (3.50) называется рядом Фурье по системе функций k x .
В приложениях широко используются системы ортого-
нальных многочленов Лежандра, которые определяются так:
|
|
|
|
1 d |
n |
2 |
1 |
n |
|
||
P |
x 1, |
P |
x |
x |
|
|
n 1,2,... . |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2n n! |
dxn |
|
|||||||||
0 |
|
n |
|
|
|
||||||
Они удовлетворяют дифференциальному уравнению
x2 1 y 2xy n n 1 y 0.
Используются и другие системы ортогональных многочленов.
Задачи для самостоятельного решения
Задача № 1. Разложить в ряд Фурье периодическую с пе-
риодом T 2 |
функцию f x , заданную на отрезке ; . |
|||
1. |
f x |
|
0, |
x 0, |
|
0 x |
|||
|
|
|
x 1, |
|
2. |
f x |
|
2x 1, x 0, |
|
|
0 x |
|||
|
|
|
0, |
|
3. |
f x |
|
0, |
x 0, |
|
0 x |
|||
|
|
|
x 2, |
|
64