Материал: Сандракова Дифферентсиалные формы на гладкикх многообразиякх 2014

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

	γ0 :	[0, 1] → D
в замкнутый путь		[0, 1] → D ,
	γ1 :	[0, 1] → D ,
если указано такое непрерывное отображение
	Γ :	I 2 → D
квадрата	I 2 =[0, 1]×[0, 1] ={(t1, t2 ) R2 , 0		≤ ti ≤1, i =1, 2} в область
D, что	t1, t2 [0, 1] Γ(t1, 0) = γ		0	(t1);	Γ(t1, 1) = γ (t1)	и
			0		1

Γ(0, t2 ) = Γ(1, t2 ) . Таким образом, гомотопия и есть отображение

Γ: I 2 → D .
Положим t2 = t и		будем трактовать как время. Тогда
Γ(t1, t) = γ	(t1) . При t = 0	получаем γ	0	, а при t =1 – γ	. Поскольку
t			0		1

в любой момент времени t [0, 1] выполняются условия:

γt (0) = Γ(0, t) = Γ(1, 0) = γt (1) ,

означающие, что путь γt – замкнутый.

Определение 4.4. Два замкнутых пути называются гомотопными в области, если можно построить гомотопию в области, переводящую один из них в другой.

Замечание 4.1. Для областей, лежащих в Rn , можно проверить, что наличие непрерывной гомотопии (кусочно) гладких путей в них обеспечивает и наличие (кусочно) гладкой гомотопии этих же путей.

Теорема 4.3. Если 1-форма ω1A в области D такова, что dω1A = 0 , а замкнутые пути γ0 и γ1 гомотопны в D, то

∫ω1A = ∫ω1A .

		γ0	γ1
Доказательство. Пусть Γ :			I 2 → D – гомотопия пути γ0 в
путь γ	1	. В результате замены переменных x = Γ(t) 1-форма		ω1
	1			A

перенесется в квадрат I 2 в виде некоторой 1-формы ω= Γ*ω1A . При

этом dω= dΓ*ω1A = Γ*dω1A = 0 , так как dω1A = 0 . Значит, по формуле Стокса

∫ ω= ∫dω= 0 .

∂I 2

I 2

Но

∫ ω = ∫ω+ ∫ω− ∫ω− ∫ω = ∫ω1A + ∫ω1A − ∫ω1A − ∫ω1A = ∫ω1A − ∫ω1A ,

∂I 2

J1 I1 J0

γ0

β1

γ1

β0

γ0

γ1

где I

– основание квадрата I 2 ,

, J

– его боковые стороны.

Следовательно,

∫ω1A − ∫ω1A = 0 ∫ω1A = ∫ω1A .

γ0

γ1

γ0

γ1

Определение 4.5. Область в Rn называется односвязной, если любой замкнутый путь в ней гомотопен точке (т.е. постоянному пути).

Итак, именно в односвязной области любой замкнутый путь можно стянуть в точку.

Теорема 4.4. Пусть заданное в односвязной области D поле A

удовлетворяет необходимому условию потенциальности. Тогда A потенциально в D.

Доказательство. В силу замечания 4.1 достаточно проверить для любого гладкого пути γ в области D равенство: ∫ Ads = 0 .

Пусть γ гомотопен постоянному пути, носитель которого состоит из одной точки. Интеграл по такому одноточечному пути равен нулю. Но в силу теоремы 4.3 при гомотопии интеграл не меняется, значит, и для пути γ справедливо равенство:

∫ Ads = 0 .

§ 19. Когомологии многообразия

Замкнутые и точные вещественнозначные формы на многообразии M образуют бесконечномерные линейные пространства, обо-

значаемые	k (M ) ,	Bk (M )	соответственно,		причем
Bk (M ) k (M ) , k = 1, 2, … .
Определение 4.6. Две замкнутые формы ω ,				ω	k (M ) назы-
			1	2

ваются когомологичными или лежат в одном классе когомологий, если ω1 −ω2 Bk (M ) , т.е. если они отличаются на точную форму.

Класс когомологий формы ω k (M ) будем обозначать символом [ω] .

Определение

4.7.

Фактор-пространство

H k (M ) =

=k (M ) / Bk (M ) называется группой k-мерных когомологий (с

вещественными коэффициентами) многообразия M. Определение 4.8. Число bk = dim H k (M ) называется k-мерным

числом Бетти многообразия M.

Поскольку		k (M ) есть ядро оператора d k : Ωk (M ) → Ωk+1(M ),
а Bk (M )	есть	образ	оператора d k −1 :	Ωk−1(M ) → Ωk (M ) ,		то
H k (M ) = Ker d k		/ Im d k−1 . Подсчет когомологий –			дело, как прави-
ло, трудное. Сделаем некоторые простые общие наблюдения.
1. Из	определения		4.7 следует, что	если	k > dim M ,	то

H k (M ) = 0 .

2.Из теоремы Пуанкаре следует, что если M стягиваемо, то при k > 0 H k (M ) = 0 .

3.На любом связном многообразии M группа H 0 (M ) изоморф-

на R, так как H 0 (M ) =	0 (M ) , а если для функции f :	M → R на
связном многообразии	M выполнено соотношение:	df = 0 , то
f = const .

Определение 4.9. Прямую сумму H * (M n ) = H k (M n ) пре-

k =0

вратим в алгебру, задав умножение в пространстве H * (M n ) , каж-

дой упорядоченной паре элементов h(k ) , h(l) ,	h(k ) H k (M ) ,
h(l) H l (M ) поставив в соответствие элемент из	H k+1(M ) , обо-

значаемый h(k) h(l) и называемый произведением элементов h(k ) и h(l) по следующему закону:

h(k) h(l) = ωk ωl + Bk+1(M n ) ,

где h(k) = ωk + Bk (M ) , h(l) = ωl + Bl (M n ) – смежные классы,

ωk k (M n ) , ωl k (M n ) .

Это определение корректно, так как если β – точная форма, а ζ – замкнутая форма, то β ζ – точная форма.

Всамом деле, так как β точна, то существует такая форма α, что

β= dα . А тогда β ζ = dα ζ = d(α ζ) , ибо dζ = 0 .

На все пространство H * (M n ) умножение распространяется по линейности.

Умножение k h обладает всеми свойствами внешнего умножения и пространство H * (M n ) когомологий превращается в косокоммутативную алгебру, называемую алгеброй когомологий мно-

гообразия M n .
Рассмотрим ряд примеров.
Определение 4.10. Пусть X – многообразие,				X0 – подмногооб-
разие многообразия X.	X0	называется деформационным ретрактом
X, если существует такое гладкое отображение F : X × R → X , что
x X : F(x, 0) = x	и	F (x, 1) :	X → X0 ,	причем x X0 :
F(x, 1) = x .
Пример 4.4. Точка	O Rn –		деформационный ретракт про-

странства Rn . Точка O Dn – деформационный ретракт диска Dn .

Теорема 4.5. Пусть X0				– деформационный ретракт многообра-
зия X.	Тогда группы когомологий					H k ( X )		и	H k ( X0 ) изоморфны,
k = 0, 1, … .
Доказательство.			Рассмотрим			отображение				f1(x) = F(x, 1) :
X → X0 из определения 4.10. Пусть							i :	X0 → X – отображение
включения. Тогда		f1	i = idX0 –		тождественное отображение про-
странства X0 , а i		f1 гомотопно idX – тождественному отображе-
нию пространства X. Поэтому в когомологиях имеем равенства:
i* f *	= id ; f * i*	= id	и,	следовательно,				f *	и i*	взаимно обрат-
1	1							1
ные изоморфизмы групп когомологий H k ( X )									и H k ( X0 ) .
Пример 4.5. Имеют место равенства:
		H k (Rn ) = H k (Dn ) = H k ( pt) ,
где pt	– пространство, состоящее из одной точки;
	H k (Rn ) = 0			при	k ≥1 ,		H 0 (Rn ) = R .

Действительно, O – деформационный ретракт пространства Rn . Сопутствующая гомотопия задается формулой:

F(x, t) = (1 −t)x ,	0 ≤ t ≤1.
Из определения когомологий следует, что
H k ( pt) = 0 , если k ≥1	и	H 0 ( pt) = R .
А тогда по теореме 4.5 H k (Rn ) = 0	при	k ≥1 , H 0 (Rn ) = R . Ана-

логично рассматривается случай диска Dn .

§ 20. Гомологии многообразия

Более наглядную геометрическую связь с многообразием имеют группы гомологий многообразий.

100

Источник: https://studfile.net/preview/16708810/

Смотрите также:




Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27