Материал: Сандракова Дифферентсиалные формы на гладкикх многообразиякх 2014

Определение 4.11. Гладкое отображение c : I k → M n k- мерного куба в многообразие M n , I k Rn , называется сингулярным кубом на многообразии M n .

Это обобщение понятия гладкого пути γ0 : [0, 1] → M n , [0, 1]

отрезок на вещественной прямой R1 , на случай произвольной размерности k. В частности, сингулярный куб может состоять в пре-

образовании I k в одну точку.

Определение 4.12. Цепью (сингулярных кубов) размерности k на многообразии M n называется любая конечная формальная линейная комбинация ∑ αpcp сингулярных k-мерных кубов на M n

p

с вещественными коэффициентами αp .

Как и пути, сингулярные кубы, получающиеся друг из друга диффеоморфным изменением параметризации с положительным якобианом, считаются эквивалентными и отождествляются. Если же такая замена происходит с отрицательным якобианом, то соответствующие (противоположно ориентированные) сингулярные кубы с, c− считаются противоположными и полагают c− = −c .

Цепи размерности k на многообразии M n образуют линейное пространство относительно стандартных операций сложения и умножения на вещественное число. Это пространство обозначается

через Ck (M n ) .

Определение 4.13. Границей ∂I k k-мерного куба I k в Rk называется (k −1) -мерная цепь

индуцированное каноническим вложением соответствующей грани куба I k в Rk . Точнее, если

I k−1 ={x Rk−1; 0 ≤ xm ≤1, m =1, 2, ..., k −1} ,

101

то

cij (x) = (x1, ..., x j−1, i, x j , ..., xk −1 ) Rk .

Это формальное определение границы куба в точности совпадает с операцией взятия края стандартного ориентированного куба I k .

Определение 4.14. Граница ∂с сингулярного k-мерного куба есть (k −1) -мерная цепь

1 k

∂c = ∑ ∑ (−1)i+ j c cij . i=0 j=1

Определение 4.15. Граница k-мерной цепи ∑αpcp на много-

p

образии M n есть (k −1) -мерная цепь

∂ ∑p αpcp = ∑p αp∂cp .

Таким образом, на любом пространстве цепей Ck (M n ) определен линейный оператор

∂ = ∂k : Ck (M n ) → Ck−1(M n ) .

Для куба I k имеет место соотношение:

∂(∂I k ) = 0 .

Это следует из определения ∂I k , следовательно, вообще

∂ ∂ = ∂2 = 0 .

Определение 4.16. Циклом z размерности k или k-циклом на

многообразии M n называется такая цепь, для которой ∂z = 0 . Определение 4.17. Граничным циклом размерности k на много-

образии M n называется цепь, являющаяся границей некоторой (k +1) -мерной цепи.

102

мерных граничных циклов на многообразии M n соответственно.

называется k-мерный группой гомологий (с вещественными коэффициентами) многообразия M n.

Определение 4.20. Если c : I k → M n – сингулярный k-мерный

куб, а ωk – k-форма на многообразии M n , то интегралом от формы ωk по этому сингулярному кубу называется величина

∫ωk = ∫c*ωk .

c I k

Определение 4.21. Если ∑αpcp – цепь размерности k, а ωk –

p

k-форма на многообразии M n , то интеграл от формы по такой цепи

103

Из определений 4.11–4.14, 4.20, 4.21 следует, что для интеграла по сингулярному кубу справедлива формула Стокса ∫dω= ∫ω, где

c ∂c

c имеет размерность k, а форма ω имеет степень (k −1) .

Из определения 4.15 следует, что вообще формула Стокса остается в силе для интегралов по цепям.

Теорема 4.6.

1.Интеграл от точной формы по циклу равен нулю.

2.Интеграл от замкнутой формы по границе цепи равен нулю.

3.Интеграл от замкнутой формы по циклу зависит только от класса гомологий цикла.

4.Интеграл от замкнутой формы по циклу зависит только от класса когомологий формы.

2. ω замкнута dω = 0 , и, следовательно, по формуле Стокса

∫ω= ∫dω= 0 .

∂c c

3.Следует из 2.

4.Следует из 1.

5.Следует из 3 и 4.

Следствие 4.1. Билинейное отображение Ωk (M n ) ×Ck (M n ) → → R , задаваемое формулой: (ω, c) = ∫ω, индуцирует билинейное

c

отображение

k (M n ) × k (M n ) → R

и билинейное отображение

H k (M n ) × Hk (M n ) → R .

104

Последнее отображение задается формулой:

где ω k (M n ) и z k (M n ) .

Теорема 4.7 (де Рама). Задаваемое формулой (20.1) билинейное отображение

H k (M n ) × Hk (M n ) → R

невырождено. Доказательство этой теоремы не приводим, как и следующих двух теорем 4.8 и 4.9, тоже принадлежащих де Раму.

Вспомним, что билинейная форма L(x, y) называется невыро-

жденной, если при любом фиксированном отличном от нуля значении одной из переменных получается не равная нулю тождественно линейная форма по другой переменной.

Определение 4.22. Пусть ω – замкнутая k-форма, а z-цикл размерности k на многообразии M n , то величина per (z) = ∫ω называ-

z

ется периодом (или циклической постоянной) формы ω на цикле z. Если цикл z гомологичен нулю, то из п. 2 теоремы 4.6 следует,

что per (z) = 0 .

По этой причине между периодами имеется следующая связь:

т.е. если линейная комбинация циклов является граничным циклом, или, что то же самое, гомологична нулю, то соответствующая линейная комбинация периодов равна нулю.

Следующие две теоремы де Рама в совокупности равносильны его теореме 4.7.

Теорема 4.8 (первая теорема де Рама). Замкнутая форма точна тогда и только тогда, когда все ее периоды равны нулю.

Теорема 4.9 (вторая теорема де Рама). Если каждому k-циклу

форма ωk , что ∫ω = per (z) для любого цикла z k (M n ) .

z

105