Материал: Синтез систем автоматического управления (90
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
состояния и входными сигналами уравнением выхода: у = Cx + Du , где у - совокупность выходных сигналов, представленных в виде векторастолбца.
Альтернативный метод получения модели в переменных состояния основан на использовании графа связей. Такие графы могут быть построены для электрических, механических, гидравлических и тепловых элементов и систем. Графы связей позволяют получить систему уравнений относительно переменных состояния.
1.5 Устойчивость системы
При анализе и синтезе систем управления с обратной связью первостепенное значение имеет их устойчивость.
Система будет устойчива (в абсолютном смысле), если все полюсы ее передаточной функции или, что то же самое, все собственные значения матрицы А находятся в левой половине s-плоскости. Если же окажется, что все полюсы (или собственные значения) находятся в левой половине s- плоскости, то далее речь может идти об относительной устойчивости, которая определяется положением этих полюсов.
Устойчивую систему определяют как систему, обладающую ограниченной реакцией. Если система подвергается воздействию ограниченного входного сигнала (или возмущения) и ее реакция также является ограниченной по модулю, то такую систему называют устойчивой.
Устойчивая система – это динамическая система, обладающая ограниченной реакцией на ограниченный входной сигнал.
Реакция системы на отклонение, или начальные условия, будет либо затухать, либо оставаться нейтральной, либо нарастать. Согласно определению, линейная система устойчива тогда и только тогда, если интеграл в бесконечных пределах от абсолютного значения ее импульсной переходной функции g(t) является конечным, т.е. необходимо, чтобы при
ограниченном входном сигнале интеграл ∞ò g(t)dt был конечным. Положение
0
полюсов системы на s-плоскости определяет вид ее переходной характеристики. Полюсы, расположенные в левой половине s-плоскости, дают затухающую реакцию на входное воздействие, а полюсы на мнимой оси или в правой половине s-плоскости, соответственно, нейтральную или расходящуюся реакцию.
Необходимое и достаточное условие того, чтобы замкнутая система была устойчива, состоит в том, чтобы все полюсы передаточной функции системы имели отрицательную действительную часть.
Если не все из этих полюсов находятся в левой полуплоскости, то система считается неустойчивой. Если характеристическое уравнение системы имеет простые корни, расположенные на мнимой оси, а все остальные корни находятся в левой половине s-плоскости, то реакция
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
системы на ограниченный гармонический входной сигнал, частота которого равна модулю чисто мнимых корней, будет представлять собой неограниченно нарастающие колебания. Такую систему принято называть находящейся на границе устойчивости, т.к. только отдельные входные сигналы (гармонические сигналы, частота которых совпадает с полюсами системы) обусловливают неограниченное нарастание реакции системы.
Устойчивость системы можно определить методом Рауса-Гурвица, который основан на анализе характеристического уравнения системы, записанного в виде:
(s) = g(s) = an sn + an− 1sn− 1 + + a1s + a0 = 0 |
(1.4) |
Уравнение можно записать в виде произведения сомножителей:
an (s − r1 )(s − r2 ) (s − rn ) = 0,
где через ri обозначен i-ый корень характеристического уравнения. Анализ уравнения показывает, что если все корни расположены в левой
полуплоскости, то все коэффициенты характеристического полинома должны иметь один и тот же знак. Необходимо также, чтобы все коэффициенты были отличны от нуля (если система устойчива). Однако эти условия являются лишь необходимыми, но не достаточными. В основе критерия Рауса-Гурвица лежит упорядочение коэффициентов характеристического уравнения
an sn + an− 1sn− 1 + + a1s + a0 = 0
в виде следующей таблицы:
sn |
|
an |
an− 2 |
an− 4 |
|
||||
sn− 1 |
|
an− 1 |
an− 3 |
an− 5 |
sn− 2 |
|
bn− 1 |
bn− 3 |
bn− 5 |
sn− 3 |
|
cn− 1 |
cn− 3 |
cn− 5 |
|
|
|
|
|
s0 |
|
h |
|
|
|
|
n− 1 |
|
|
где |
|
|
|
|
bn |
1 = |
− 1 |
|
an |
an− 2 |
|
, |
bn |
3 = |
− 1 |
|
an |
|
a |
|||
|
|
|
|
||||||||||||||
an− 1 |
a |
|
|
a |
|
a |
|||||||||||
− |
|
n− 1 |
a |
n− 3 |
|
|
− |
|
n − 1 |
a |
n− |
1 |
|||||
n− 4 |
|
cn |
1 = |
− 1 |
|
an− 1 |
an− 3 |
|
, |
|
|||||||
b |
||||||||
n− 5 |
|
− |
|
n − 1 |
b |
b |
||
|
|
|
|
|
n− 1 |
n− 3 |
||
Критерий Рауса-Гурвица утверждает, что число корней полинома g(s) с положительной действительной частью равно числу изменений знака в первом столбце таблицы Рауса.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1.6 Чувствительность системы
Объект управления, представленный передаточной функцией G(s), какова бы ни была его природа, подвержен влиянию окружающей среды, старению, отсутствию точной информации о его параметрах и других объективных факторов, которые негативно сказываются на его поведении. В разомкнутой системе все эти факторы приводят к отклонению выходной переменной от желаемого значения. Замкнутая система чувствует это отклонение, обусловленное изменениями параметров объекта, и пытается скорректировать выходную переменную.
Чувствительность системы определяется как отношение процентного изменения передаточной функции системы к процентному изменению передаточной функции объекта. Система имеет передаточную функцию:
T (s) = Y (s)
R(s)
и, следовательно, чувствительность определяется, как
S = |
T ( s ) / T ( s ) |
(1.5) |
G ( s ) / G ( s ) |
Чувствительность системы – это отношение изменения ее передаточной функции к изменениям передаточной функции (или параметров) объекта управления при условии их малости.
Чувствительность замкнутой системы к изменению параметра передаточной функции равна:
T |
|
∂ ln T |
|
Sα |
= |
|
(1.6) |
∂ ln α |
В синтезируемой системе, параметр К является переменным. Найдите чувствительность системы по отношению к изменениям этого параметра по формуле:
T |
|
∂ T K |
|
|
SK |
= |
|
T |
(1.7) |
∂ K |
||||
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1.7 Управляемость системы
Система, описываемая матрицами (А,В), является управляемой, если существует такое неограниченное управление u, которое может перевести систему из произвольного начального состояния x(0) в любое другое заданное состояние x(t). Управляемость системы, описываемой уравнением
|
(1.8) |
x = Α x + Β u |
|
можно определить, исследуя алгебраическое условие |
|
ранг[Β |
Α Β Α 2Β Α n− 1Β ] = n |
Для системы с одним входом и одним выходом вводится понятие матрицы управляемости Рс, которая выражается через А и В как
Pc = [Β Α Β Α 2Β Α n− 1Β ]
и имеет размерность n × n . Если определитель матрицы Рс отличен от нуля, то система является управляемой.
Ответить на вопрос, является ли система управляемой, можно и другим способом. Для этого надо изобразить граф системы в переменных состояния и определить. Имеются ли пути от управляющего сигнала к каждой из переменных состояния. Если такие пути существуют, то система может быть управляема.
Система, структура которой представлена в форме фазовой переменной, всегда является управляемой.
1.8 Наблюдаемость системы
Все корни характеристического уравнения можно разместить в заданных точках s-плоскости только в том случае, когда система является наблюдаемой и управляемой. Наблюдаемость связана со способностью оценивать переменными состояния. Система может быть наблюдаемой, если каждая переменная состояния вносит свой вклад в выходной сигнал системы.
Система является наблюдаемой тогда и только тогда, если существует конечное время Т такое, что начальное состояние x(0) может быть определено в результате наблюдения выходной переменной y(t), t T , при заданном управлении u(t).
Система с одним входом и одним выходом описывается уравнениями
|
и |
y = Cx + Du |
x = Α x + Β u |
|
где С есть вектор-строка, а x – вектор-столбец. Система является наблюдаемой, если определитель матрицы Q размерности n × n (называемой
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
матрицей наблюдаемости) отличен от нуля, где
|
é |
C |
ù |
|
Q = |
ê |
CA |
ú |
(1.8.) |
ê |
|
ú |
||
|
ê |
ú |
|
|
|
ê |
CAn− 1 |
ú |
|
|
ë |
û |
|
Система, структура которой представлена в форме фазовой переменной, всегда является наблюдаемой.