Материал: Введение в статистические методы управления качеством. учебное пособие. Пентюхов В.И., Мищенко Е.В

2.5.1. Применение распределения Пуассона в задачах качества

Биномиальный закон распределения относится к случаям, когда была сделана выборка фиксированного объема. Распределение Пуассона относится к случаям, когда число случайных событий происходит на определенных длинах, площадях, объемах или временах, при этом определяющим параметром распределения является среднее число событий , а не объем выборки и вероятность успеха . Распределение вероятностей для числа успехов имеет при этом следующий вид:

.

Здесь е - основание натуральных логарифмов, это иррациональное число, равно 2.718281… .

Закон Пуассона распространяется на “редко” происходящие события. При этом возможность очередной “удачи” (например, сбоя) является постоянной. Сохраняется непрерывно и не зависит от числа предыдущих “удач” или ”неудач (это называют “независимостью от прошлого”).

Для приложений важным свойством распределения Пуассона является также то, что оно аппроксимирует биномиальное распределение в пределе, когда , а так, что среднее .

Таким образом, для эффективного применения распределения Пуассона как аппроксимации биномиального необходимо, чтобы вероятность успеха была существенно меньше , а произведение была порядка единицы и более.

Учитывая указанное предельное свойство, нетрудно получить выражение дисперсии для пуассоновской случайной величины как соответствующий предел дисперсии биномиального распределения,

Таким образом, для пуассоновской случайной величины математическое ожидание и дисперсия имеют одно и то же значение равное .

В таблице 2.2. представлены кумулятивные пуассоновские вероятности. как в таблице 2.1 для биномиального распределения

.

Правила использования таблицы 2.2 такие же, как и таблицы 2.1..

Примеры

1. Какова вероятность получения двух бракованных изделий в выборке из 20 штук, если вероятность брака для процесса составляет 0,04 (4%)?

Применить закон распределения Пуассона для этого случая. Какова будет вероятность того, что произойдет в точности два отказа, если пользоваться таблицей для закона Пуассона.

Среднее число отказов в выборке из , при вероятности отказа , равно . В столбце, соответствующем , и в строках для и находим значения кумулятивных вероятностей и .

Их разность даст искомый ответ,

.

Сравните этот результат с ранее полученным ответом - 0.1458.

2. В течение дня 144 текстильные машины, производящие пряжу одного и того же типа, имели 216 остановок. Какова вероятность того, что одна машина в течение одного дня будет иметь 4 или более остановок?

В условии неявно предполагается, что причина остановки станка мгновенно определяется, устраняется, и он вновь включается в работу (см. ниже “момент восстановления”). В такой ситуации биномиальное распределение неприменимо, и мы должны воспользоваться распределением Пуассона.

Среднее число остановок на одну машину в день составляет 216/144 = 1.5. Итак, для использования Таблицы 3.2. мы имеем m = 1.5, .

Ответом является вероятность, равная 0.0656.

2.6. Показательное распределение времени ожидания сбоя

В данном подразделе вводится модель, которая широко используется в исследовании надежности. Рассматривается только экономический период службы оборудования, то есть тот период, когда отказы являются случайными: когда отказы периода освоения, проистекающие из ошибок разработки или технологии, устранены, а отказы, связанные с износом, еще не начались.

2.6.1. Функция надежности.

Представим себе, что некоторое число идентичных деталей подвергается испытанию на работоспособность. В случайные моменты времени та или иная деталь выходит из строя, но мы будем предполагать, что вышедшая из строя деталь мгновенно заменяется новой из той же партии - “момент восстановления”. Тогда с течением времени условия эксперимента не изменяются и его можно продолжать сколь угодно долго.

Очевидно, что в такой ситуации число деталей , вышедших из строя за время имеет пуассоновское распределение вероятностей; биномиальное распределение здесь не подходит потому, что состав испытуемых деталей обновляется в моменты восстановления.

Среднее число пропорционально и , и равно .

Коэффициент пропорциональности называется интенсивностью отказов – это доля отказов по отношению к числу работоспособных деталей в единицу времени.

Таким образом,

.

Пусть есть время до первого отказа в испытываемой на сбой системе из идентичных деталей и есть вероятность того, что случайная величина превысит заданное время . Событие произойдет только в том случае, если за время ни одна из деталей не выйдет из строя. Следовательно,

, 

Эта функция определяет надежность всей системы. Функция надежности каждой отдельной детали, является вероятностью того, что время наработки данной детали до отказа превысит время . В рассматриваемом эксперименте все детали идентичны и работают независимо. Вероятность безотказной работы всей системы равна произведению вероятностей безотказной работы каждой детали, то есть . Следовательно, ,

откуда

.

Для экономического периода службы детали справедлив экспоненциальный закон надежности.

Когда большое количество деталей подвергается испытаниям на надежность функцию надежности можно интерпретировать и как долю деталей, сохранивших свою работоспособность в течение времени , по отношению к их начальному числу.

2.6.2. Функция распределения времени ожидания сбоя.

Рассмотрим дополнительную к вероятность .

Она называется функцией распределения случайной величины.

Поскольку есть вероятность события , то есть - вероятность противоположного события .

Приращение равное

есть вероятность события .

При малых приращение заменяется дифференциалом .

Функция называется плотностью распределения вероятностей.

Для показательно распределенного времени ожидания отказа  функция распределения равна

,

плотность распределения -

.

Рассмотрим примеры, относящимся к надежности систем.