Материал: Введение в статистические методы управления качеством. учебное пособие. Пентюхов В.И., Мищенко Е.В

Зная статистическую функцию распределения случайной величины можно найти частоты попадания ее значения в различные интервалы числовой оси.

Совершенно аналогично в качестве теоретической характеристики случайной величины не связанной с проведением каких-либо опытов, можно принять вероятность выполнения неравенства рассматриваемую как функцию переменной x

Эта функция называется функцией распределения случайной величины X.

Возможные значения случайной величины могут образовывать дискретное множество, а именно множество всех целых чисел от 0 до или непрерывное множество. Случайная величина, множество возможных значений которой дискретно, называется прерывной или дискретной.

Функция распределения прерывной случайной величины полностью определяется ее возможными значениями и вероятностями этих значений.

Действительно, если — прерывная случайная величина, возможные значения которой, пронумерованные в порядке возрастания, равны и вероятности этих значений равны соответственно р₁ ..., р_п:

то функция распределения случайной величины X определяется формулой

_,

где неравенство под знаком суммы показывает, что суммирование производится по всем значениям индекса для которых выполняется это неравенство.

Иными словами, при любом значении функция распределения равна сумме вероятностей всех значений случайной величины меньших Очевидно, что если возрастая, становится равным то число значений меньших остается неизменным, т. е. функция распределения имеет в точке то же значение, что и при любом, в интервале ₊₁.

Если же становится больше то функция распределения увеличивается скачком на величину

Следовательно, значение функции распределения в точке разрыва равно ее значению слева от этой точки, т. е. функция распределения непрерывна слева.

Изучим теперь общие свойства функции распределения любой случайной величины. Как и всякая вероятность, функция распределения не может быть отрицательной и не может быть больше единицы:

Далее, при любых для выполнения неравенства необходимо и достаточно, чтобы было или

Так как события и несовместны, то, согласно принципу сложения вероятностей,

Отсюда на основании определения функции распределения следует равенство

Таким образом, вероятность попадания значения случайной величины на отрезок числовой оси или в его левый конец равна приращению функции распределения на этом отрезке.

Так как вероятность не может быть отрицательной, то при любых величина не может быть больше Иными словами, функция распределения является неубывающей функцией.

Если функция распределения случайной величины X непрерывна при всех значениях то вероятность любого ее возможного значения равна нулю.

На первый взгляд этот вывод противоречив: в результате опыта случайная величина обязательно принимает какое-то значение, и в то же время вероятность того, что она примет любое наперед заданное значение, равна нулю. В действительности здесь нет никакого противоречия.. В данном случае, если является возможным значением случайной величины и ее функция распределения непрерывна на всей числовой оси, равенство является возможным событием, имеющим вероятность, равную нулю.

Это означает только, что при очень большом числе опытов случайная величина будет принимать данное значение крайне редко, так что частота этого значения будет иметь тенденцию приближаться к нулю. Так как вероятность равенства в случае непрерывной функции распределения равна нулю, то предыдущая формула в этом случае может быть переписана в виде

На основании изученных свойств функции распределения можно себе представить общий характер изображающей ее кривой.

Примерный вид такой кривой представлен на рис. 2.1.

Рис. 2.1.

Вследствие того, что при непрерывной функции распределения вероятность каждого отдельно взятого значения случайной величины равна нулю, случайная величина не может быть в этом случае охарактеризована вероятностями своих значений.

Поэтому возникает вопрос: как определить, является ли данное число возможным значением случайной величины, и можно ли определить, какие ее значения более вероятны и какие менее вероятны?

Ответить на этот вопрос можно, заменив точки числовой оси соответствующими малыми интервалами. Пусть — бесконечно малый интервал. Тогда вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное между и , может служить практической мерой возможности данного значения

При этом удобно разделить эту вероятность на .

Таким образом, мы приходим к понятию плотности вероятности.

Плотностью вероятности случайной величины называется предел отношения вероятности неравенства к величине при

Если плотность вероятности случайной величины в точке отлична от нуля, то является возможным значением случайной величины

Если плотность вероятности в точке больше, чем в точке то можно сказать, что значение случайной величины более вероятно, чем значение

Используя ранее полученные формулы, получим

Таким образом, плотность вероятности случайной величины равна производной от ее функции распределения.

Из ранее полученных формул следует первое основное свойство плотности вероятности:

плотность вероятности случайной величины является неотрицательной функцией:

Интегрируя и принимая во внимание, что непрерывная случайная величина может изменятся в пределах от до , получим выражение функции распределения случайной величины через ее плотность вероятности:

Полагая здесь и принимая во внимание, что при произойдут все возможные события, т.е. функция вероятности равна единице, получим второе основное свойство плотности вероятности

Из ранее полученных формул следует, что вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное между равна интегралу от ее плотности вероятности, взятому в пределах от

Геометрический смысл этой формулы очевиден. Вероятность попадания значения случайной величины на данный отрезок равна площади фигуры, ограниченной сверху кривой, изображающей плотность вероятности, снизу осью абсцисс, а с боков прямыми (рис. 2.2.). При этом вся площадь, ограниченная кривой, изображающей плотность вероятности, и осью абсцисс, равна единице.

Величина представляет собой с точностью до бесконечно малых высшего порядка вероятность того, что случайная величина примет свое значение в интервале