Материал: Введение в статистические методы управления качеством. учебное пособие. Пентюхов В.И., Мищенко Е.В

Рассматривая как независимые величины с одним и тем же законом распределения (величины или «генеральной» совокупности для нашей выборки), мы будем иметь:

и окончательно получим:

В отличие от выборочная дисперсия имеет

м атематическое ожидание, не равное при любом дисперсии , но меньше этой величины на

При больших расхождение несущественно, при конечных же мы можем «исправить» , умножив ее на множитель

Полученная таким образом исправленная или уточненная величина выборочной дисперсии будет являться несмещенной оценкой и определится формулой:

откуда

Возвращаясь к статистической функции распределения, отметим, что величина 1/_n представляет собой приращение статистической функции распределения случайной величины в каждой из точек и поэтому формулы и можно переписать в виде

Пример Найти статистическую функцию распределения, среднее значение, статистическую дисперсию и статистическое среднеквадратическое отклонение случайной величины X по результатам 20 опытов, представленным в таблице.

Подставляя значения x_i в формулы, находим среднее значение и статистическую дисперсию случайной величины:

Статистическое среднеквадратическое отклонение случайной величины в данном случае равно

Как уже было отмечено, вследствие ошибок измерений результат измерения любой величины всегда является случайной величиной.

Повторяя измерение несколько раз, мы будем получать различные результаты.

При отсутствии систематической ошибки среднее арифметическое всех результатов измерений на основании изложенного может служить мерой истинного значения измеряемой величины, а статистическое среднеквадратическое отклонение так же, как и статистическая дисперсия, может служить характеристикой точности измерений.

Чем меньше статистическое среднеквадратическое отклонение, тем теснее группируются результаты измерений около их среднего арифметического значения, тем точнее измерение.

Таким образом, рассмотренные числовые характеристики случайной величины имеют вполне определенный практический смысл.

При изучении случайных явлений часто приходится характеризовать результат опыта не одной случайной величиной, а несколькими случайными величинами или даже бесконечным множеством случайных величин. Например, движение воздуха в данной точке в данный момент времени характеризуется тремя составляющими вектора скорости ветра. Записывая выходной сигнал автоматической системы или сигнал на входе радиоприемника, мы характеризуем результат этого опыта совокупностью ординат полученной кривой, представляющих собой случайные величины.

В таких случаях, кроме рассмотренных характеристик, которые можно вычислить для каждой из интересующих нас случайных величин по отдельности, необходимо еще ввести какую-то величину, характеризующую степень зависимости между случайными величинами.

В качестве такой характеристики степени зависимости случайных величин X и Y в данной серии п опытов можно принять их статистический корреляционный момент

В этой формуле через обозначены значения, которые приняли случайные величины в результате i-го опыта а через - среднеарифметические значения величин

Отличный от нуля статистический корреляционный момент указывает на то, что между случайными величинами существует какая-то связь.

Пример Найти статистические дисперсии и статистический корреляционный момент случайных величин X, У по результатам их наблюдений при 20 опытах.

Координаты экспериментальных точек заданы таблицей.

Сначала находим средние значения

Подставляя эти значения и значения, принятые случайными величинами в результате рассматриваемых опытов, в ранее полученные формулы, находим статистические дисперсии случайных величин

и их статистический корреляционный момент:

Таким образом, в данном случае есть основание считать случайные величины X, Y связанными некоторой зависимостью.

Если неограниченно увеличивать число опытов и после каждого опыта определять частоты событий и характеристики случайных величин с учетом всех уже произведенных опытов, то можно заметить, что по мере увеличения числа опытов, частоты событий и характеристики случайных величин имеют тенденцию стабилизироваться около некоторых значений.

Устойчивость частот событий и характеристик случайных величин при большом числе опытов является основной закономерностью массовых случайных явлений, т.е. таких случайных явлений, наблюдение которых можно производить неограниченное число раз.

Это дает основание ввести соответствующие абстрактные теоретические характеристики событий и случайных величин, независимые от эксперимента, зная которые можно было бы судить о поведении событий и случайных величин при большом числе опытов, не производя самих опытов.

1.3. Вероятность события. Свойства вероятности событий

Основной теоретической характеристикой случайного события является его вероятность.

Вероятностью события называется число, характеризующее частоту события при большом числе опытов, т. е. такое число, около которого частота события стремится стабилизироваться при неограниченном увеличении числа опытов.

Таким образом, вероятность события представляет обой его «теоретическую» частоту.

Зная вероятность события, можно, не производя никаких опытов, предсказать, с какой частотой будет появляться это событие при большом количестве опытов. Можно также сказать, что вероятность события представляет собой меру возможности появления события при одном опыте.

Если вероятность события очень мала, то оно будет очень редко появляться при большом числе опытов. В этом случае, собираясь произвести один опыт, мы можем быть практически уверены в том, что событие не произойдет. Наоборот, если вероятность события очень мало отличается от единицы, то, собираясь произвести один опыт, мы можем быть практически уверены в том, что событие произойдет.

Мы говорим здесь о практической уверенности, а не об абсолютной уверенности потому, что, собираясь произвести только один опыт, мы не можем абсолютно точно предвидеть его результат. Этот опыт может оказаться принадлежащим к числу тех редких опытов, когда событие, имеющее малую вероятность, все же появится, а событие, имеющее вероятность, близкую к единице, не появится.

Частота невозможного событии всегда равна нулю, а частота достоверного события всегда равна единице.

Поэтому, согласно данному определению вероятности, невозможному событию следует приписать вероятность, равную нулю, а достоверному событию—вероятность, равную единице.

Однако в дальнейшем мы увидим, что существуют и случайные события, имеющие вероятность, равную нулю или единице.

Таким образом, если вероятность события равна нулю (единице), то это еще не означает, что событие невозможно (соответственно достоверно). Это означает только то, что при неограниченном увеличении числа опытов частота события будет иметь тенденцию стремиться к нулю (соответственно к единице).

Вероятность события А обычно обозначается символом Р(А).

В некоторых случаях вероятность события легко определяется из соображений симметрии результатов опытов. 'Гак, например, при большом числе бросаний правильной монеты герб и цифра вследствие симметрии монеты будут появляться практически с одинаковой частотой. Поэтому событию, представляющему собой появление герба при бросании монеты, следует приписать вероятность, равную 1/2.

Точно так же при бросании правильной игральной кости, имеющей форму куба, шесть граней должны вследствие симметрии появляться примерно с одинаковыми частотами при большом числе опытов.

Следовательно, частота события, представляющего собой появление числа очков, кратного трем, должна стремиться стабилизироваться около 2/6= 1/3 при неограниченном числе опытов.

Таким образом, вероятность появления числа очков, кратного трем, при одном бросании игральной кости равна 1/3.

Очевидно, что вероятность события не может быть отрицательной и не может быть больше единицы, т. е. для любого события А

Вероятности событий, как числа, представляющие собой теоретические частоты событий, около которых стремятся стабилизироваться действительные частоты при неограниченном увеличении числа опытов, должны обладать всеми свойствами частот.

В частности, исходя из доказанной в предыдущем параграфе теоремы сложения частот, принимают следующий принцип сложения вероятностей: