Материал: Введение в статистические методы управления качеством. учебное пособие. Пентюхов В.И., Мищенко Е.В

Система вероятностей P_N,M(n,x), определенных таким образом, называется гипергеометрическим распределением

Этой формуле можно придать еще вид

В частности, вероятность не получить в выборке ни одного предмета с признаком получится при в виде

На основании полученных формул рассчитывается наиболее выгодный с точки зрения трудоемкости и надежности вариант выборки в смысле ее объема и объема проверяемой партии предметов при заданной и предполагаемых значениях

Так, например, вероятность того, что в выборке из трех штук, отбираемых из 100 предметом, окажется один предмет с признаком (например, дефектная деталь), если среди общего числа предметов будет 30 предметов, обладающих этим признаком, равна

Таким образом, вероятность того, что случайная величина . —число объектов в выборке, обладающих признаком —примет возможное значение определяется равенством

Здесь —число объектов с признаком среди всех объектов совокупности, из которой отбирается выборка.

При этом может, естественно, принимать значения, удовлетворяющие неравенствам

Обозначая долю через и разделив каждый из множителей числителя и знаменателя на получим:

Мы видим, что распределение зависит от трех параметров: и

Если неограниченно возрастает, а то, очевидно, что

т. е. члены гипергеометрического распределения стремятся к соответствующим членам биномиального распределения как к своему пределу.

Гипергеометрическое распределение обладает свойствами, аналогичными свойствам биномиального распределения; оно также принадлежит к числу одномодальных распределений.

Центр этого распределения равен

2.3. Расчеты вероятностей числа дефектных изделий в выборке

Решение задач на применение статистических законов предполагает использование соответствующих статистических таблиц.

Первой таблицей, которую мы рассмотрим, будет Таблица 2.1 для биномиального закона распределения.

В ней представлены значения вероятностей того, что число “успехов” равно или превышает заданное число . Параметрами в таблице 2.1 являются:

n - размер выборки;

- вероятность “успеха”, термин, обычно используемый для обозначения меньшего из значений и .

Таким образом, в нашем случае “успех” может соответствовать отказу, в нарушение кажущегося смысла.

r - минимальное число “успехов” в выборке объема n.

Рассмотрим два взаимоисключающих события и , В сумме они образуют достоверное событие, следовательно, сумма их вероятностей равна единице.

Вероятность первого события равна

(именно эта величина представлена в таблице 2.1.).

Вероятность второго события вычисляется так,

.

и дисперсия

где

При выборочном контроле, часто необходимо знать, какова вероятность получения = 0, 1, 2, 3, 4, ... дефектных изделий в выборке объема , если известна доля брака во всей партии. Если при этом известно и полное число изделий в партии, то решение задачи дается гипергеометрическим распределением –

,

в котором общее число дефектных изделий в партии , а годных - .

Формула для гипергеометрического распределения содержит много параметров, поэтому сложна для табуляции и расчетов.

В этом отношении биномиальное распределение значительно проще.

Оно является хорошим приближением к гипергеометрическому распределению, когда вся партия изделий настолько велика, что на долю брака не влияет извлечение выборки, при этом вероятность извлечения дефектного изделия в отдельном контрольном испытании составляет одну и туже величину , независимо от номера испытания, а вероятность для годного изделия равна

Вероятность точного равенства есть

.

В частных случаях и имеем и соответственно.

Примеры

1.Если мы дважды бросаем монету, то каковы вероятности различных значений числа выпадений орла?

Мы можем перечислить возможные варианты несовместимых событий как следующие четыре комбинации, причем каждое из них является произведением независимых исходов,

ОО ОР РО РР

Каждое из этих четырех событий имеет одинаковую вероятность

.

Кумулятивные вероятности суть вероятности следующих событий:

«по крайней мере, 0 орлов» ОО + ОР + РО + РР - = 1.0;

«по крайней мере, 1 орел» ОО + ОР + РО -------- = 0.75;

«по крайней мере, 2 орла» ОО ---------------------- = 0.25.

Этот пример может быть решен с помощью биномиального закона распределения, когда вероятность “успеха” (орел) и “отказа” (решка) в каждом случае составляет 0.5. Ответы Вы можете найти в таблице 2.1. для n = 2, р = 0.50, r = 0, 1 и 2.

2.Какова вероятность получения двух бракованных изделий в выборке из 20 штук, если вероятность брака для процесса составляет 0,04 (4%)?

Мы имеем n = 20, р = 0.04, d = 2. Из таблицы 2.1. находим, что вероятности и составляют 0.1897 и 0.0439 соответственно. Итак, вероятность того, что будет точно два бракованных изделия, составляет 0.1897- 0.0439 = 0.1458.

2.4. Функция распределения и плотность вероятности случайной величины

Мы знаем, что экспериментальной характеристикой случайной величины может служить ее статистическая функция распределения.