Материал: Задачи и упражнения для организации самостоятельной работы по дисциплинам «Математика», «Спецглавы математики». Катрахова А.А., Васильев Е.М

8.Что такое эволюта и эвольвента кривой? Как они нахо-

дятся?

9.Что такое кручение пространственной кривой в заданной точке?

Примеры решения задач Пример 1. Найти траекторию точки, движущейся по закону r t 2sinti 3cost j .

Решение. Параметрические уравнения траектории

поэтому траекторией движения является эллипс с полуосями 2 и 3 и центром в начале координат, направление движения пока-

зано стрелкой (рис. 7).

y

3

2 x

Рис. 7

Пример 2. Дано уравнение движения материальной точки r sht 1 i ch2t j 3k . Определить траекторию, скорость и

ускорение движения точки. Построить векторы скорости и ускорения для момента времени t 0.

Решение. Параметрические уравнения траектории

x t sht 1,

y t ch2t,

Воспользовавшись основным тождеством для гиперболических функций, исключаем параметр t и получаем

ch2t sh2t y x 1 2 1.

Таким образом, траекторией движения точки является

Для того, чтобы определить направление движения точки по траектории, вычислим пределы

lim x t lim sht 1 ,

t t

lim y t lim ch2t .

t t

Полученное направление движения показано на рис. 8 стрелкой. Далее определяем вектор скорости

Рис. 8

52

Задачи и упражнения для самостоятельного решения

Решить задачи: [7], 5.533, 5.537, 5.549, 5.550, 5.558-5.561, 5.563, 5.564, 5.566, 5.570, 5.581, 5.583; [13], 1529, 1337, 1544, 1554, 1556, 1572.

Форма отчетности: устный опрос, домашняя контрольная работа с последующим отчетом по ней.

ЗАНЯТИЕ № 15

КОРНИ МНОГОЧЛЕНА. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АЛГЕБРЫ. РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА

С ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ НА МНОЖИТЕЛИ

Литература: [12], c. 230-235, [16], c. 77-84.

Контрольные вопросы и задания

1.Что такое многочлен степени n?

2.Что называется корнем многочлена?

3.Как читается и доказывается теорема Безу?

4.Сформулируйте основную теорему алгебры.

5.Как раскладываются на множители многочлены n-oй степени (приведенные, не приведенные)?

6.Какие многочлены называются равными?

7.Что такое кратность корня многочлена? Как выглядит разложение многочлена на множители при наличии кратных корней?

Примеры решения задач Пример 1. Решить уравнение

x3 4x2 x 6 0.

53

ются числа: 1, -2, -3. Следовательно, уравнение можно записать

в виде x 1 x 2 x 3 0.

Пример 2. Разложить на множители многочлен

Q5 x 3x5 6x4 9x3 18x2 12x 24.

Решение. Нетрудно убедиться, что один из делителей свобод-

ние к нулю. Решения полученного биквадратного уравнения

корень x 2, кратность которого равна 2, действительный простой корень x 2 и два простых взаимно-сопряженных комплексных корня x i. Таким образом, разложение на множители данного многочлена будет иметь следующий вид:

54

Q5 x 3x5 6x4 9x3 18x2 12x 24

3 x 2 2 x 2 x2 1 .

Задачи и упражнения для самостоятельного решения

Решить задачи: [7], 1.512, 1.514, 1.518, 1.523, 1.525.

Форма отчетности: устный опрос, контрольная работа.

ЗАНЯТИЕ № 16

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ БИНОМОВ. ПОДСТАНОВКИ ЧЕБЫШЕВА.

ПОДСТАНОВКИ ЭЙЛЕРА

Литература: [12], c. 361-364, 369-370, [20], c. 138.

Контрольные вопросы и задания

1.Какое выражение называется дифференциальным би-

номом?

2.В каких случаях интеграл от дифференциального бинома выражается через элементарные функции (является берущимся)?

3.С помощью каких подстановок интегрируются такие дифференциальные биномы?

4.Приведите пример интеграла от дифференциального бинома, не выражающегося через элементарные функции.

5.Какие интегралы берутся с помощью подстановок Эй-

лера?

6.Какова первая подстановка Эйлера и когда она приме-

няется?

7.Какова вторая подстановка Эйлера и когда она приме-

няется?

55