Материал: Задачи и упражнения для организации самостоятельной работы по дисциплинам «Математика», «Спецглавы математики». Катрахова А.А., Васильев Е.М

Решение. Для нахождения производной воспользуемся правилами дифференцирования показательной функции, сложной функции, частного и логарифмической функции.

Пример 7. y tgx 8x .

Решение. Прологарифмируем данную функцию и получим ln y ln tgx 8x 8x lntgx.

Продифференцируем левую и правую части полученного равенства:

ln y 8x lntg x .

Применим к левой части правило дифференцирования сложной функции, а к правой – правила дифференцирования произведения, сложной функции, логарифмической функции и тригонометрических функций:

41

явно. Дифференцируем обе части равенства по x, рассматривая y как функцию от x, а также применяя правила дифференцирования показательной функции, сложной функции и произведения:

y 5xy 1 5xy 1 ln5 xy 1 5xy 1 ln5 y xy .

Выражаем производную y из этого равенства:

y 1 t

Решение. Данная функция задана параметрически, поэтому

11

sint2 tcost2 2t sint2 2t2 cost2 .

42

Пример 10. Найти уравнения касательной и нормали к кривой y2 4x в точке M 1, 2 .

Решение. Запишем уравнения касательной и нормали: yк y0 y x0 x x0 ,

Задачи и упражнения для самостоятельного решения

Решить задачи: [13], 466-468, 492-497, 539-546, 547, 659-572, 593-596, 631-640, 662, 754.

Форма отчета: конспект, устный опрос, контрольная работа.

ЗАНЯТИЕ № 13

ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНОЙ

Литература: [12], с. 144-154.16],c. 41-45, [16], c. 117-132.

43

Контрольные вопросы и задания

1. Какая функция называется возрастающей и убываю-

щей?

2.Как применяется производная для исследования функции на возрастание и убывание (докажите теорему)?

3.Дайте определение максимума и минимума функции в

точке.

4.Сформулируйте и докажите необходимое условие существования экстремума.

5.Каковы достаточные условия существования экстремума функции в точке?

6.Какова схема исследования дифференцируемой функции на максимум и минимум с помощью первой производной.

Примеры решения задач Пример 1. Провести исследование и построить график функции

Решение.

1.Область определения функции находим из условия

x2 x 2 0. Решая квадратное уравнение x2 x 2 0, нахо-

дим значения корней x1 1, x2 2. Таким образом x , 1 1, 2 2, .

2. Находим точки пересечения с осями координат:

3. Очевидно, что данная функция не является периодической, так как не содержит элементарных периодических функций. Для проверки функции на четность или нечетность находим

44

.

Так как пределы бесконечные, то x 2 является точкой разрыва второго рода, а прямаяx 2 является вертикальной асимптотой.

5. Проверяем наличие у функции наклонных асимптот, имеющих уравнение y kx b