Материал: Задачи и упражнения для организации самостоятельной работы по дисциплинам «Математика», «Спецглавы математики». Катрахова А.А., Васильев Е.М

Таким образом, функция имеет горизонтальную асимптоту y 0, совпадающую с осью Ox.

6. Исследуем функцию на экстремум и участки монотонности, для чего находим ее производную

Производная не существует при x 1 и x 2. Производная не равна нулю, так как квадратное уравнение

2x2 2x 5 0 имеет отрицательный дискриминант. Результаты исследований первой производной помещаем в таблицу

Из таблицы видно, что данная функция не имеет точек экстремума, так как производная всегда положительна.

7. Исследуем функцию на точки перегиба и участки выпуклости и вогнутости, для чего находим ее вторую производную

46

Вторая производная не существует при x1 1 и x2 2. Но в этих точках функция не определена, поэтому они не могут являться точками перегиба. Для нахождения других критических точек приравниваем вторую производную нулю и получаем

равна нулю и меняет знак, следовательно, эта точка является точкой перегиба графика функции.

8. По результатам всех исследований выполняем построение графика данной функции (рис. 5).

Рис. 5

47

Пример 2. Провести исследование и построить график функции y x 4 e2x.

Решение

1. Областью определения функции является вся числовая ось.

ная функция не является периодической, так как не содержит элементарных периодических функций. Для проверки функции на четность или нечетность находим

y x x 4 e 2x .

Полученное выражение не равно ни y x ни y x , по-

этому данная функция не является ни четной ни нечетной.

4.Данная функция определена всюду, поэтому точек разрыва нет и вертикальных асимптот тоже нет.

5.Проверяем наличие у функции наклонных асимптот, имеющих уравнение y kx b

x 1 x

Следовательно, правой асимптоты у функции нет.

Таким образом, приx функция имеет горизонтальную асимптоту y 0, совпадающую с осью Ox.

6. Исследуем функцию на экстремум и участки монотонности, для чего находим ее производную

y x 4 e2x e2x x 4 e2x2 e2x 2x 9 .

Производная определена при любом значении x и равна нулю при x 4,5. Результаты исследований первой производной помещаем в таблицу

Из таблицы видно, что функция при x 4,5 имеет точку минимума, так как производная в этой точке равна нулю и меняет знак.

7. Исследуем функцию на точки перегиба и участки выпуклости и вогнутости, для чего находим ее вторую производную

y 2x 9 e2x 2e2x 2x 9 e2x2 e2x 4x 20

.Вторая производная определена при любом значении x и равна нулю при x 5. Результаты исследований второй производной помещаем в таблицу

Из таблицы видно, что приx 5вторая производная равна нулю и меняет знак, следовательно, эта точка является точкой перегиба графика функции.По результатам всех исследований выполняем построение графика данной функции (рис. 6).

49

y

Рис. 6

Задачи и упражнения для самостоятельного решения Решить задачи: [13], 1399-1414, 1437, 1462-1464, 1465-

1469, 1472-1477.

Форма отчетности: конспект, устный опрос.

ЗАНЯТИЕ № 14

ВЕКТОР - ФУНКЦИЯ СКАЛЯРНОГО АРГУМЕНТА. КРИВИЗНА КРИВОЙ

Литература: [12], c. 195-211, 305-313; [7], c. 237-247; [16],c. 41-45.

Контрольные вопросы и задания

1. Дайте определение вектор-функции скалярного аргумента. Где, в каких теоретических и практических приложениях используется эта функция?

2.Что такое годограф вектор-функции? Как найти его для конкретно заданной функции?

3.Что такое и как находится производная векторфункции?

4.Как находится предел вектор-функции?

5.Как найти касательную к пространственной кривой? Как написать уравнение нормальной плоскости?

6.Что называется кривизной плоской и пространственной кривой в данной точке?

7.Что такое радиус кривизны? Как он находятся?

50